A KöMaL 2005. januári matematika feladatai
Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.
Feladat típusok elrejtése/megmutatása:
 |
K-jelű feladatokA beküldési határidő 2005. február 10-én LEJÁRT. |
K. 25. Az ábrán egy városrész térképvázlata látható. A körök az utcasarkokat (kereszteződéseket), a vonalak az őket összekötő útszakaszokat jelzik. Minden útszakasznál feltüntettük, hogy gyalog hány perc alatt tehetők meg. Mennyi a lehetséges legkisebb időtartam, amely ahhoz szükséges, hogy eljussunk \(\displaystyle A\) pontból \(\displaystyle B\) pontba, feltéve, hogy az ábrán mindig csak jobbra vagy felfelé haladunk?
(6 pont)
K. 26. Sanyi és apja beszélgetnek:
– Fiam, hány oldalas a könyv, amit el kell olvasnod?
– 1000-nél kevesebb.
– Elkezdted már?
– Igen, vasárnap már túl is jutottam a százötvenedik oldalon.
– És ma mennyit haladtál?
– Nagyon sokat! A ma olvasott oldalak sorszámának 2761 az összege.
A beszélgetés napján hányadik oldalon kezdte az olvasást, és hány oldalt olvasott Sanyi?
(6 pont)
K. 27. Van-e olyan legalább kétjegyű négyzetszám, amelyik különböző számjegyekből áll, és igaz rá, hogy számjegyeit bármilyen sorrendben írjuk le, a kapott szám is négyzetszám?
(6 pont)
K. 28. Adjuk meg az összes olyan \(\displaystyle p\) prímszámot, amelyre \(\displaystyle 2p^{2} +13\) is prímszám.
(6 pont)
K. 29. Bizonyítsuk be, hogy ha a 121 szám jegyei közé mindkét helyen ugyanannyi nullát írunk (pl. \(\displaystyle 10\,201\), \(\displaystyle 1\,002\,001\) stb.), akkor mindig egy egész szám négyzetét kapjuk.
(6 pont)
K. 30. Igazoljuk, hogy egy tetszőleges konvex négyszög átlóinak összege nagyobb, mint a kerületének a fele, de kisebb, mint a kerülete.
(6 pont)
 |
C-jelű feladatokA beküldési határidő 2005. február 15-én LEJÁRT. |
C. 790. Egy konkáv négyszög oldalainak felezőpontjait összekötöttük az ábrán látható módon. Hogyan aránylik az így kapott négyszög területe az eredeti négyszög területéhez?
(5 pont)
C. 791. Egy \(\displaystyle 9\)-szer \(\displaystyle 9\)-es táblázat mezőibe \(\displaystyle 460\)-tól \(\displaystyle 540\)-ig beírtuk egymás után az egész számokat a bal felső sarokból indulva, soronként balról jobbra haladva. Elhelyezhető-e ezen a táblán egy négy négyzetből álló, L betűt formázó kartonlap úgy, hogy \(\displaystyle 4\) olyan számot fedjen le, amelyek összege \(\displaystyle 2005\)?
(5 pont)
C. 792. Oldjuk meg a következő egyenlőtlenséget:
\(\displaystyle \sqrt{x^2+x}+x< \frac{1}{2}. \)
(5 pont)
C. 793. Mennyi
\(\displaystyle \sqrt[4010]{\frac{1}{2} \big(19+6\sqrt{10}\,\big)} \cdot \sqrt[2005]{3 \sqrt{2}- 2\sqrt{5}} \)
pontos értéke?
(5 pont)
C. 794. Egy gömb két párhuzamos síkmetszetének területe \(\displaystyle 9\pi\) és \(\displaystyle 16\pi\). A síkok távolsága egységnyi. Mekkora a gömb felszíne?
(5 pont)
 |
B-jelű feladatokA beküldési határidő 2005. február 15-én LEJÁRT. |
B. 3782. Az \(\displaystyle A=\overline{xyzu}\) és a \(\displaystyle B=\overline{uzyx}\) tízes számrendszerben felírt négyjegyű számok szorzatának utolsó három számjegye 0. Keressük meg az összes ilyen tulajdonságú \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) számpárt.
(3 pont)
B. 3783. Az \(\displaystyle ABCDE\) konvex ötszögben \(\displaystyle ABC\sphericalangle= CDE\sphericalangle= 90^{\circ}\), \(\displaystyle BC= CD=AE=1\), \(\displaystyle AB + ED = 1\). Mekkora az ötszög területe?
(3 pont)
B. 3784. Igazoljuk, hogy ha \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) pozitív számok, akkor
\(\displaystyle 6a+4b+5c\ge 5\sqrt{ab}+7\sqrt{ac}+3\sqrt{bc}. \)
(3 pont)
B. 3785. Egy számot szerencsésnek nevezünk, ha előáll olyan pozitív egészek összegeként, amelyek reciprokösszege 1. A \(\displaystyle 11 = 2 + 3 + 6\) és a \(\displaystyle 4 = 2 + 2\) például szerencsés számok, hiszen
\(\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1. \)
Szerencsés szám-e a 2005?
(4 pont)
B. 3786. Adott 200 darab különböző valós szám. A számokat két csoportra osztjuk és mindkét csoportban nagyság szerint növekvően rendezzük az elemeket. Így kapjuk az \(\displaystyle a_1<a_2<\ldots<a_{100}\) és a \(\displaystyle b_1<b_2<\ldots<b_{100}\) sorozatokat. Ugyanezekből a számokból két újabb rendezett százas csoportot készítve az \(\displaystyle a_1'<a_2'< \ldots<a_{100}'\) és a \(\displaystyle b_1'<b_2'<\ldots<b_{100}'\) sorozatokat kapjuk.
Bizonyítsuk be, hogy
\(\displaystyle |a_1-a_1'|+|a_2-a_2'|+\ldots+|a_{100}-a_{100}'|=|b_1-b_1'|+|b_2-b_2'|+\ldots+|b_{100}-b_{100}'|. \)
(5 pont)
B. 3787. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög belső pontja \(\displaystyle K\), az \(\displaystyle AK\), \(\displaystyle BK\), \(\displaystyle CK\) egyenesek az \(\displaystyle A_1\), \(\displaystyle B_1\), \(\displaystyle C_1\) pontokban metszik a szemközti oldalakat. Bizonyítsuk be, hogy
\(\displaystyle \frac{AK}{KA_1}+\frac{BK}{KB_1}+\frac{CK}{KC_1}\ge 6. \)
(4 pont)
B. 3788. Adott az \(\displaystyle ABC\) háromszög. Mi azon \(\displaystyle P\) pontok mértani helye a háromszög belsejében, amelyeknek az \(\displaystyle AB\) oldal egyenesétől mért távolsága számtani közepe a \(\displaystyle BC\) és a \(\displaystyle CA\) oldalak egyenesétől mért távolságának?
(4 pont)
B. 3789. Hány olyan sík van, amely egy kockának legalább három élfelező pontján átmegy?
(4 pont)
B. 3790. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:
$$\begin{align*} x^2-4\sqrt{3x-2}+10 & =2y,\\[6pt] y^2-6\sqrt{4y-3}+11 & =x. \end{align*}$$(5 pont)
B. 3791. A hegyesszögű \(\displaystyle ABC\) háromszög belsejében levő \(\displaystyle P\) pontra igaz, hogy \(\displaystyle APB\sphericalangle= BPC\sphericalangle= CPA\sphericalangle\). A \(\displaystyle BP\) és \(\displaystyle CP\) egyenesek az \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle AB\) oldalakat rendre \(\displaystyle D\)-ben és \(\displaystyle E\)-ben metszik. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle AB+AC\ge 4DE\).
(5 pont)
 |
A-jelű feladatokA beküldési határidő 2005. február 15-én LEJÁRT. |
A. 362. Az \(\displaystyle x_1, x_2,\dots, x_n\) valós számokról tudjuk, hogy
\(\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i\ge n \quad\mbox{ és }\quad \sum_{i=1}^n x_i^2\ge n^2, \)
ahol \(\displaystyle n\ge 3\). Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle \max\, (x_1, x_2,\dots , x_n)\ge 2\).
(5 pont)
A. 363. Ki lehet-e rakni a \(\displaystyle 2005\) oldalú kockát \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\) és \(\displaystyle 7\) oldalú kockák felhasználásával?
(5 pont)
A. 364. Adott a \(\displaystyle 25!\)-nak \(\displaystyle 19\) osztója. Bizonyítsuk be, hogy található közöttük néhány úgy, hogy a szorzatuk köbszám.
(5 pont)
A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:
- megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.
(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)