A KöMaL 2005. februári matematika feladatai
Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.
Feladat típusok elrejtése/megmutatása:
 |
K-jelű feladatokA beküldési határidő 2005. március 10-én LEJÁRT. |
K. 31. Az ábrán látható hatszög minden belső szöge \(\displaystyle 120^\circ\)-os. Bizonyítsuk be, hogy
\(\displaystyle AB + FA = CD + DE. \)
(6 pont)
K. 32. Egy könyvtárban a következő módon választ 3 gyerek 5 féle könyv közül: az 5 féle könyv mindegyikéből egy-egy példány van egymás mellé kitéve egy asztalra, a gyerekek pedig arra a könyvre teszik az olvasójegyüket, amelyiket ki szeretnék kölcsönözni (egyféle könyvet többen is kölcsönözhetnek, akár mind a hárman, ilyenkor több olvasójegy kerül ugyanazon könyvre, ám egy gyerek csak egy könyvet kölcsönözhet). Két olvasójegy-elrendezés különbözőnek számít, ha legalább egy gyerek nem ugyanazt a könyvet jelölte meg a két elrendezésben. Hány lehetőségük van összesen az olvasójegyek elhelyezésére?
(6 pont)
K. 33. Balázsnak van 11 darab műanyag hengere. Ha magasságuk szerint sorba rakja ezeket (a ,,talpukra'' állítva), akkor mindegyik 2 cm-rel nagyobb, mint az azt megelőző. A sorban a legutolsó henger éppen akkora, mint a középső és annak egyik szomszédja egymásra téve. Milyen magas oszlopot lehet építeni a 11 hengert egymásra téve?
(6 pont)
K. 34. Oldjuk meg a következő egyenletet:
\(\displaystyle {(x^2-4)}^2 {(x+3)}^2+ {(x+2)}^2{(x-9)}^2=0. \)
(6 pont)
K. 35. Tudjuk, hogy a háromszög súlyvonalai felezik a területét, valamint, hogy egy ponton, a súlyponton haladnak át. Igaz-e, hogy azok a területfelező egyenesek, amelyek párhuzamosak a háromszög valamelyik oldalával, áthaladnak a háromszög súlypontján?
(6 pont)
K. 36. Hány olyan, legalább kétjegyű egész szám van, és melyek ezek, melyekre teljesül, hogy 6 milliónál kisebbek, és az őket megelőző, valamint az őket követő egész szám is palindrom? (Palindrom számnak azokat az egész számokat nevezzük, melyek számjegyeit fordított sorrendben írva az eredeti számot kapjuk.)
(6 pont)
 |
C-jelű feladatokA beküldési határidő 2005. március 15-én LEJÁRT. |
C. 795. Bizonyítsuk be, hogy ha a 10-es számrendszerben felírt \(\displaystyle \overline{a_1a_2a_3a_4a_5a_6}\) szám osztható 7-tel, akkor \(\displaystyle \overline{a_6a_1a_2a_3a_4a_5}\) is osztható 7-tel.
(5 pont)
C. 796. Egy derékszögű háromszög beírható körének sugara az átfogóhoz tartozó magasság \(\displaystyle 0{,}45\)-szorosa. Mekkorák a háromszög hegyesszögei?
(5 pont)
C. 797. Egy négyzet alakú étkezőasztal lábainak hossza valamilyen körüljárás szerinti sorrendben \(\displaystyle \rm 70~cm\), \(\displaystyle \rm 71~cm\), \(\displaystyle \rm 72{,}5~cm\) és \(\displaystyle \rm 72~cm\). Billeg-e az asztal, vagyis van-e két olyan asztalláb, amely soha nem támaszkodik egyszerre a padló síkjára?
(5 pont)
C. 798. Oldjuk meg az alábbi egyenletet:
\(\displaystyle 3\cdot 4^x+(3x-10)2^x+3-x=0. \)
(5 pont)
C. 799. Egy tetraéder minden csúcsában ül egy-egy hangya. Egy adott pillanatban mindegyikük elindul egy véletlenszerűen kiválasztott élen, és átmászik rajta a szomszédos csúcsba. Mennyi annak a valószínűsége, hogy két hangya találkozik útközben vagy az út végén?
(5 pont)
 |
B-jelű feladatokA beküldési határidő 2005. március 15-én LEJÁRT. |
B. 3792. Az \(\displaystyle M\) pozitív egészből a tőle különböző \(\displaystyle N\) pozitív egész úgy származtatható, hogy \(\displaystyle M\) jegyeit valamilyen más sorrendben írjuk fel (első jegyük nem lehet nulla). Lehet-e mindkét szám a \(\displaystyle 2\)-nek pozitív egész kitevőjű hatványa?
(4 pont)
B. 3793. Az \(\displaystyle ABCD\) négyzet belsejében adott a \(\displaystyle P\) pont. Tudjuk, hogy \(\displaystyle AP=1\), \(\displaystyle BP=2\), \(\displaystyle CP=3\). Határozzuk meg a \(\displaystyle DP\) távolságot.
(3 pont)
B. 3794. Bizonyítsuk be, hogy ha \(\displaystyle 0<q<p<1\), akkor
\(\displaystyle p+3q<1+4pq. \)
(3 pont)
B. 3795. Adott két pont, amelyek távolsága \(\displaystyle 1\) egység. Csak körző segítségével szerkesszünk két olyan pontot, amelyek távolsága \(\displaystyle \sqrt{2}\) egység.
(5 pont)
B. 3796. A \(\displaystyle k\) körhöz a külső \(\displaystyle A\) pontból érintőket húzunk, az érintési pontok \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\), az \(\displaystyle EF\) szakasz felezőpontja \(\displaystyle G\). Egy \(\displaystyle A\)-n átmenő egyenes a \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) pontokban metszi a \(\displaystyle k\) kört. Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle EF\) egyenes felezi a \(\displaystyle BGC\) szöget.
(4 pont)
B. 3797. Adott az \(\displaystyle ABC\) szabályos háromszög. Mi azon \(\displaystyle P\) pontok mértani helye a háromszög belsejében, amelyeknek az \(\displaystyle AB\) oldaltól mért távolsága mértani közepe a \(\displaystyle BC\) és a \(\displaystyle CA\) oldaltól mért távolságának?
(4 pont)
B. 3798. Legyen \(\displaystyle \alpha=2+\sqrt{3}\). Bizonyítsuk be, hogy minden pozitív egész \(\displaystyle n\)-re
\(\displaystyle [\alpha^n]=\alpha^n+\alpha^{-n}-1. \)
(4 pont)
B. 3799. Két egybevágó szabályos háromszög közös része egy hatszög. Bizonyítsuk be, hogy ebben a hatszögben a másodszomszédos oldalak hosszának összege egyenlő.
(4 pont)
B. 3800. Egy kocka minden csúcsában ül egy-egy hangya. Egy adott pillanatban mindegyikük elindul egy véletlenszerűen kiválasztott élen, és átmászik rajta a szomszédos csúcsba. Mennyi annak a valószínűsége, hogy két hangya találkozik útközben vagy az út végén?
(4 pont)
B. 3801. Jelölje \(\displaystyle P(n)\) az első \(\displaystyle n\) pozitív prímszám összegét. Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle P(n)\) és \(\displaystyle P(n + 1)\) között van négyzetszám.
(5 pont)
 |
A-jelű feladatokA beküldési határidő 2005. március 15-én LEJÁRT. |
A. 365. Legyen \(\displaystyle a_n=\sqrt[\scriptstyle n]{(n+1)!}-\sqrt[\scriptstyle n]{n!}\). Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle a_n\ge 1\) minden \(\displaystyle n\)-re és az \(\displaystyle a_n\) sorozat nem korlátos.
(5 pont)
A. 366. Legyen \(\displaystyle p(n)\) az \(\displaystyle n\) partícióinak száma, \(\displaystyle r(n)\) azon partíciók száma, amelyekben \(\displaystyle n\)-t különböző páratlan számok összegére bontjuk. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle p(n)\) és \(\displaystyle r(n)\) paritása megegyezik.
(5 pont)
A. 367. \(\displaystyle a)\) Az \(\displaystyle ABC\) hegyeszögű háromszög \(\displaystyle D\) belső pontjára fennáll, hogy
\(\displaystyle AB\cdot BC\cdot CA=DA\cdot AB\cdot BD+DB\cdot BC \cdot CD+DC\cdot CA \cdot AD. \)
Határozzuk meg \(\displaystyle D\) mértani helyét.
\(\displaystyle b)\) Az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszög \(\displaystyle E\) belső pontjára teljesül, hogy
\(\displaystyle AB\cdot BC\cdot CA=AE^2\cdot BC+BE^2\cdot CA+CE^2\cdot AB. \)
Határozzuk meg az \(\displaystyle E\) mértani helyét.
(5 pont)
A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:
- megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.
(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)