Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A KöMaL 2013. márciusi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Feladat típusok elrejtése/megmutatása:

K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2013. április 10-én LEJÁRT.

K. 373. Egy asztalon van 29 pénzérme. Két játékos játszik, mindegyikük minden lépésben az asztalról vesz el érméket úgy, hogy az elvett érmék darabszáma pozitív négyzetszám legyen. A játékot az nyeri, aki utoljára tud érmét elvenni. Kinek van nyerő stratégiája? (Azaz melyik játékos tud úgy játszani, hogy a másik játékos bármilyen cselekvéssorozata esetén ő nyerje meg a játékot?)

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 374. Az ABC háromszögben AB=28 cm, BC=38 cm. A B-ből induló belső szögfelezőre A-ból merőlegest állítunk, ennek metszéspontja a szögfelezővel D. Az AC oldal felezőpontja F. Hány cm hosszú a DF szakasz?

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 375. Egy téglalapot felosztottunk nyolc darab négyzetre az ábrán látható módon. A közepes méretű négyzetek területe 100 cm². Mekkora az eredeti téglalap területe?

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 376. Hányféleképpen lehet az alábbi 16 pont közül 3-at kiválasztani úgy, hogy azok egy háromszög csúcsai legyenek?

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 377. Egy 120×120 cm-es négyzet alakú asztallapra tettünk egy 100×100 cm-es négyzet alakú terítőt úgy, hogy a két négyzet középpontja egybeesik, a terítő oldalai párhuzamosak az asztallap átlóival, és a terítő sarkai lelógnak az asztalról Mekkora az asztallap fedetlen részének területe?

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 378. Néhány barát elment vacsorázni, és elhatározták, hogy 15% borravalót adnak. Ha mindenki 6000 Ft-ot ad be, akkor 2800 Ft-tal több jön össze, mint amit az ételért kell fizetniük, de a pénz nem elég a borravalóra. Ha mindenki 6600 Ft-ot ad be, akkor a pénz elég a borravalóra is, és összesen 1120 Ft visszajár. Mennyi volt a számla végösszege borravaló nélkül, és hányan voltak a társaságban?

(6 pont)

megoldás, statisztika

C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2013. április 10-én LEJÁRT.

C. 1160. Mennyi a maradék, ha a 2012²⁰¹³+2013²⁰¹² összeget elosztjuk 2012^.2013-mal?

Javasolta: Fülöp Dóra (Pécs)

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1161. Az

$\frac{x-b-c}{a}+\frac{x-a-c}{b}+\frac{x-a-b}{c}=10$

egyenletben szereplő a, b, c valós számokra a következők teljesülnek: a+b+c=0, abc=-48, valamint bc+ac+ab=-28. Oldjuk meg az egyenletet.

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1162. Az ABCD paralelogramma rövidebb AC=a átlója, mint átmérő fölé kört írunk. A kör és a paralelogramma metszéspontjai meghatározzák az AIJCKL hatszöget, melynek oldalai rendre $\frac a2$ , b, b, $\frac a2$ , b, b hosszúak. Mekkorák a paralelogramma oldalai és szögei?

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1163. Mely x, y számpárok esetén lesznek az x, x^lg x, y^lg y, ${(xy)}^{\lg\, (xy)}$ számok egy mértani sorozat egymást követő elemei?

Javasolta: Balga Attila (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1164. Az ABCD egy $2~\mathrm{dm}^2$ területű négyzet, az ABCDE egy 3 dm magasságú egyenes gúla. Legyen H az AE élének A-hoz közelebbi, G pedig a CE él E-hez közelebbi harmadolópontja, továbbá F a BE él felezőpontja. A gúlát elmetszve a HFG háromszög síkjával mekkora lesz a gúla és a sík metszetének területe?

(5 pont)

megoldás, statisztika

B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2013. április 10-én LEJÁRT.

B. 4522. Határozzuk meg az összes olyan n egész számot, amelyre

|2n³-6n²+4n+3|

prímszám.

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 4523. Egy szimmetrikus trapézban az átlók merőlegesek egymásra. Mekkora lehet a trapéz kerületének és középvonalának aránya?

Javasolta: Kovács Béla (Szatmárnémeti)

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4524. A természetes számok halmazán értelmezett f függvényre teljesül az

$f(1)+2^2f(2)+3^2f(3)+\ldots + n^2f(n)=n^3f(n)$

feltétel, minden n pozitív egészre. Határozzuk meg f(2013) értékét, ha f(1)=2013.

(Erdélyi versenyfeladat)

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4525. Egy $\mathcal{T}$ szabályos háromszög belsejében adott n darab pont. Igazoljuk, hogy $\mathcal{T}$ lefedhető 2n+1 vele azonos állású szabályos háromszöggel úgy, hogy azok egyik adott pontot sem tartalmazzák a belsejükben. Mutassuk meg azt is, hogy a kívánt lefedés nem mindig valósítható meg csupán 2n darab háromszög segítségével.

Javasolta: Pálvölgyi Dömötör (Budapest)

(6 pont)

megoldás, statisztika

B. 4526. Egy futótűz minden irányban 1 km/h sebességel terjed. Amikor a tűz egy 1 km sugarú kört égetett ki, egy bulldózer érkezik a tűz széléhez, hogy árkot vájjon, ami által megakadályozza a tűz továbbterjedését. A bulldózer legfeljebb 14 km/h sebességgel tud haladni. Adjunk meg a bulldózernek olyan utat, hogy a teljes felégetett terület ne legyen nagyobb, mint 13 km².

(Quantum)

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4527. Egy kockajátékban három dobókockával dobunk egyszerre, és két alkalommal újra dobhatunk tetszőleges számú (0, 1, 2 vagy 3) kockával. Akkor nyerünk, ha a legutolsó dobás után ugyanaz a szám áll mind a három dobókockán. Mi a legjobb stratégia, és azt követve hány százalék esélyünk van a győzelemre?

Javasolta: Gáspár Merse Előd (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 4528. Egy ABCD húrnégyszög köré írt kör k, az ABC háromszög beírt körének középpontja P, az ABD háromszögé pedig Q. Legyen a k kör BC ívének felezőpontja E, a DA ívének felezőpontja pedig F. Mutassuk meg, hogy PQ párhuzamos EF-fel.

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 4529. Legyen n pozitív egész szám. Mutassuk meg, hogy

$\sum_{i=1}^{n} 2i\cdot \binom{2n}{n-i} =n\cdot \binom{2n}{n}.$

(6 pont)

megoldás, statisztika

B. 4530. Bizonyítsuk be, hogy az ABC háromszög AC és BC oldalaira kifelé rajzolt azonos oldalszámú szabályos sokszögek középpontjait összekötő szakasz felezőpontja egybeesik az AC és BC oldalak felezőpontjait összekötő szakaszra a C csúcs irányában emelt ugyanakkora oldalszámú szabályos sokszög középpontjával.

Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 4531. Oldjuk meg az (x²+100)²=(x³-100)³ egyenletet.

(Quantum)

(5 pont)

megoldás, statisztika

A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2013. április 10-én LEJÁRT.

A. 584. A térben tetszőleges nem elfajuló $\mathcal{K}$ kúpszeletre, amely nem kör, tekintsük azoknak az egyenes körkúppalástoknak a csúcsait, amelyek tartalmazzák $\mathcal{K}$ -t.

(a) Mutassuk meg, hogy ezek a pontok egy kúpszeleten vannak, és ezt a kúpszeletet $\mathcal{K}$ egyértelműen meghatározza.

(b) Jelöljük $C(\mathcal{K})$ -val azt a kúpszeletet, ami tartalmazza a lehetséges csúcsokat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges $\mathcal{K}$ esetén $C\big(C(\mathcal{K})\big)=\mathcal{K}$ .

(5 pont)

A. 585. Adott egy n $\ge$ 2 egész szám. Az (i,j) számpárokat, ahol 1 $\le$ i,j $\le$ n egészek, ráírtuk egy-egy kártyára úgy, hogy mindegyik pár pontosan egy kártyán szerepeljen. Ezután a következő játékot játsszuk. Az n² kártyát elhelyezzük egy n×n-es táblázatban úgy, hogy minden i-re és j-re a (i,j) kártya az i-edik sor j-edik helyén legyen. A (i,j) és (k,l) kártyákat felcserélhetjük, ha ugyanabban a sorban vagy ugyanabban az oszlopban vannak, és i=k vagy j=l. Elérhetjük-e ilyen lépésekkel, hogy az (1,2) és a (2,1) kártya helyet cseréljen, a többi kártya pedig visszakerüljön a kiinduló helyére?

Bertalan Zoltán (Békéscsaba) ötletéből

(5 pont)

A. 586. Két konvex négyszög oldalai a₁, a₂, a₃, a₄, illetve A₁, A₂, A₃, A₄; területük t, illetve T. Igazoljuk, hogy

$16tT \le \sum_{i=1}^4 a_i^2 \big(A_{i+1}^2+A_{i+2}^2+A_{i+3}^2-A_i^2\big) + 4a_1A_2a_3A_4 + 4A_1a_2A_3a_4.$

(Az indexeket modulo 4 értjük.)

(5 pont)

megoldás, statisztika

A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:

megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)