A KöMaL 2014. májusi matematika feladatai

C-jelű feladatok A beküldési határidő 2014. június 10-én LEJÁRT.

---

C. 1231. Igazoljuk, hogy azok között az \(\displaystyle n\) jegyű természetes számok között, amelyek számjegyei kizárólag 1 és 2 közül kerülnek ki, van olyan, amelyik osztható \(\displaystyle 2^n\)-nel.

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1232. Egy háromszögben a \(\displaystyle b\) oldalhoz tartozó súlyvonal hossza kétszer olyan hosszú, mint a \(\displaystyle c\) oldalhoz tartozó súlyvonal és merőleges rá. Mekkora a háromszög kerülete, ha az \(\displaystyle a\) oldalhoz tartozó súlyvonal hossza 60 cm?

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1233. Oldjuk meg az egész számok halmazán a \(\displaystyle 17 \big(x^2+y^2\big)-32xy=41\) egyenletet.

Simon József (Csíkszereda)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1234. Egy deltoid egyik szöge derékszög, a vele szemközti szöge \(\displaystyle 30^\circ\), a rövidebbik oldala 10 cm. Mekkora annak a négyzetnek az oldalhossza, amelynek három csúcsa a deltoid egy-egy oldalára esik, az egyik oldala pedig párhuzamos a deltoid hosszabbik oldalával?

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1235. Vir Ági kertészetében anyák napjára tulipánt termesztenek. Az egyik tulipánágyásban 53 sorban 38-38 virág van. Minden második cirmos, minden tizenkilencedik egy kicsit tépett szirmú és végül minden 53. még nem teljesen nyílt ki, ha végigsétálunk az elsőtől az utolsóig soronként. Ági észrevette, hogy ha a tökéletes szépségű (nem cirmos, nem tépett szirmú és teljesen kinyílt) tulipánok sorszámát összeadja, akkor a kapott érték a bevételük tizenkilencszerese. Hány forintért adják a szép tulipánok tucatját?

Javasolta: Meszlényiné Róka Ágnes (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1236. Adjuk meg azon körök sugarának összegét, melyek középpontja az \(\displaystyle y\) tengelyen van és érinti az \(\displaystyle {(x-5)}^2+ {(y-5)}^2=25\) egyenletű kört és az \(\displaystyle {y=\frac{4}{3}x+6}\) egyenest.

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1237. Egy 45 dkg tömegű cipót háromfelé vágtunk. A legnagyobb és a legkisebb darab között 5 dkg a különbség. Mekkora lehet az egyes darabok tömege, ha a tömegek szórása \(\displaystyle \sqrt{\frac{14}{3}}\) dkg?

(5 pont)

megoldás, statisztika

B-jelű feladatok A beküldési határidő 2014. június 10-én LEJÁRT.

---

B. 4632. Két egyenes metszéspontja nem fért rá a papírlapra. Szerkesszük meg a papírlap egy adott pontján és a metszésponton átmenő egyenes papírlapra eső részét.

(3 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 4633. Egy háromszög belsejében felveszünk néhány pontot úgy, hogy közülük semelyik három (beleértve a csúcsokat is) nem esik egy egyenesre. A pontokat egymással és a háromszög csúcsaival úgy kötjük össze, hogy a kapott szakaszok ne messék egymást, és a háromszöget a lehető legtöbb kis háromszögre bontsák. Bizonyítsuk be, hogy a keletkezett kis háromszögek száma páratlan.

(3 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 4634. Milyen \(\displaystyle n\) és \(\displaystyle k\) pozitív egészekre lesz \(\displaystyle \binom nk\) prímhatvány?

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 4635. Az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszögben \(\displaystyle AB<AC\). A háromszög köré írt kör középpontja \(\displaystyle O\), a magasságpont \(\displaystyle M\). Szerkesszük meg a \(\displaystyle BC\) oldalszakaszon azt a \(\displaystyle P\) pontot, amelyre \(\displaystyle AOP\sphericalangle = PMA\sphericalangle\).

(4 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 4636. Egy háromszög melyik belső pontjában maximális az oldalaktól mért távolságok szorzata?

Javasolta: Kósa Tamás (Budapest)

(4 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 4637. Sir Bedevir csak akkor indul el egy lovagi tornán, ha tudja, hogy legalább 1/2 valószínűséggel győzni fog. Bármely összecsapás esetén az ellenfelek győzelmének valószínűsége a harcképességükkel arányos. Bedevir harcképessége 1, \(\displaystyle n\)-edik ellenfelének a harcképessége pedig \(\displaystyle \frac{1}{2^{n+1}-1}\). Hány lovag jelentkezhetett a tornára, ha Bedevir gondos számolás után úgy döntött, hogy ő is elindul?

(EMMV)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 4638. Legyenek \(\displaystyle x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\) tetszőleges valós számok. Bizonyítsuk be, hogy

\(\displaystyle \sqrt{\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{x_{k}^{4}+k^{2}}{x_{k}^{2}}\right)^{2}-n^{2} (n+1)^{2}}\ge \sum_{k=1}^{n}\frac{x_{k}^{4}-k^{2}}{x_{k}^{2}}. \)

Javasolta: Paulovics Zoltán (Zalaegerszeg, Zrínyi M. Gimn., 12. évf.)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 4639. A \(\displaystyle P\) pont az \(\displaystyle F_1\) és \(\displaystyle F_2\) fókuszpontú \(\displaystyle \mathcal E\) ellipszis olyan külső pontja, amely nincs rajta a nagytengely egyenesén. Legyen a \(\displaystyle PF_1\) szakasz és \(\displaystyle \mathcal E\) metszéspontja \(\displaystyle M_1\), a \(\displaystyle PF_2\) szakasz és \(\displaystyle \mathcal E\) metszéspontja \(\displaystyle M_2\), az \(\displaystyle M_1F_2\) és \(\displaystyle M_2F_1\) egyenesek metszéspontja pedig \(\displaystyle R\). Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle PM_1RM_2\) érintőnégyszög.

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 4640. Számítsuk ki a

\(\displaystyle \sum_{j=0}^{n} \binom{2n}{2j} {(-3)}^{j} \)

összeget.

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 4641. Az \(\displaystyle S\) sík két részre vág egy szabályos oktaédert. Határozzuk meg a két rész térfogatának arányát, ha tudjuk, hogy \(\displaystyle S\) szabályos hatszögben metszi az oktaédert.

(6 pont)

megoldás, statisztika

A-jelű feladatok A beküldési határidő 2014. június 10-én LEJÁRT.

---

A. 617. Legyen \(\displaystyle \mathcal{F}\) véges halmazokból álló, véges halmazrendszer, és legyen \(\displaystyle A\) tetszőleges véges halmaz. Azt mondjuk, hogy \(\displaystyle \mathcal{F}\) szétzúzza az \(\displaystyle A\) halmazt, ha tetszőleges \(\displaystyle X\subseteq A\)-hoz létezik olyan \(\displaystyle F\in \mathcal{F}\), amire \(\displaystyle A\cap F=X\). Igazoljuk, hogy az \(\displaystyle \mathcal{F}\) legalább \(\displaystyle |\mathcal{F}|\) halmazt szétzúz.

(5 pont)

statisztika

---

A. 618. Igazoljuk, hogy az

\(\displaystyle x^3 - x + 9 = 5 y^2 \)

egyenletnek nincs megoldása az egész számok körében.

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

A. 619. Adott a térben négy, egy pontból induló félegyenes, \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle d\), amelyek a \(\displaystyle \varPi\) síkban fekszenek. Tetszőleges \(\displaystyle \varphi\) hegyesszögre forgassuk el \(\displaystyle \varPi\)-t a négy félegyenes körül pozitív irányban \(\displaystyle \varphi\)-vel; az így kapott síkokat jelölje rendre \(\displaystyle A_\varphi\), \(\displaystyle B_\varphi\), \(\displaystyle \varGamma_\varphi\), illetve \(\displaystyle \varDelta_\varphi\). Legyen \(\displaystyle \varSigma_\varphi\) az a sík, ami illeszkedik az \(\displaystyle A_\varphi\) és a \(\displaystyle B_\varphi\) síkok metszésvonalára, valamint a \(\displaystyle \varGamma_\varphi\) és a \(\displaystyle \varDelta_\varphi\) metszésvonalára is. Mutassuk meg, hogy a különböző \(\displaystyle \varphi\) szögekhez tartozó \(\displaystyle \varSigma_\varphi\) síkok egy közös egyenesre illeszkednek.

(5 pont)

statisztika