A KöMaL 2018. áprilisi matematika feladatai

C-jelű feladatok A beküldési határidő 2018. május 10-én LEJÁRT.

---

C. 1476. Igazoljuk, hogy az

\(\displaystyle \frac{{(y-6)}^2}{3xy}+x\cdot \frac{y+3}{y}\ge 4+x-\frac{4}{x}-\frac{xy}{12} \)

egyenlőtlenség minden pozitív \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) valós számpárra teljesül.

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1477. Bizonyítsuk be, hogy ha az \(\displaystyle ABCD\) trapéz \(\displaystyle AD\) alapján van olyan \(\displaystyle E\) pont, amelyre az \(\displaystyle ABE\), \(\displaystyle BCE\) és \(\displaystyle CDE\) háromszögek kerülete egyenlő, akkor \(\displaystyle BC=\frac12 AD\).

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1478. Egy \(\displaystyle 37\)-tel osztható hatjegyű szám számjegyei különbözőek, és nem szerepel közöttük a \(\displaystyle 0\). Mutassuk meg, hogy a számjegyek sorrendjét cserélgetve még legalább hat \(\displaystyle 37\)-tel osztható számot kaphatunk.

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1479. Egy \(\displaystyle ABC\) háromszögben az \(\displaystyle AC\) oldal \(\displaystyle T\) belső pontjára \(\displaystyle TA=BC\), továbbá az \(\displaystyle AB\) oldal \(\displaystyle P\) belső pontjára a \(\displaystyle CBP\) és \(\displaystyle PAT\) háromszögek egybevágóak. A \(\displaystyle BC\) oldal \(\displaystyle Q\) belső pontjára \(\displaystyle TQ\) nem párhuzamos \(\displaystyle AB\)-vel, és a \(\displaystyle BPQ\) háromszög hasonló a \(\displaystyle TCQ\) háromszöghöz. Igazoljuk, hogy \(\displaystyle PT=QT\).

A feladat állítása sajnos nem minden háromszög esetén igaz, ezért a pontversenyből töröltük. A versenyzőktől elnézést kérünk. A Szerk.

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1480. Oldjuk meg az

\(\displaystyle \frac{x^3-7x+6}{x-2}=\frac{2x+14}{x+2} \)

egyenletet az egész számok halmazán.

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1481. Egy \(\displaystyle 2\) sugarú körbe írt szabályos nyolcszög csúcsait három különböző módon kötjük össze az ábra szerint: minden szomszédos, minden másodszomszédos, majd minden harmadszomszédos csúcsot. Igazoljuk, hogy a három beírt kör sugarának szorzata \(\displaystyle 2\).

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1482. Igazoljuk, hogy

\(\displaystyle \big|2\sin x +\sin {(2x)}\big| < \frac{3+2\sqrt2}{2}\,. \)

(5 pont)

megoldás, statisztika

B-jelű feladatok A beküldési határidő 2018. május 10-én LEJÁRT.

---

B. 4948. Az \(\displaystyle n\) pozitív egész számot nevezzük darabosnak, ha van olyan prímosztója, amely nagyobb \(\displaystyle \sqrt{n}\)-nél. Például a \(\displaystyle 2017\) (prímszám), a \(\displaystyle 2018=2\cdot 1009\) és a \(\displaystyle 2022=2\cdot3\cdot 337\) darabosak, a \(\displaystyle 2023=7\cdot 17^2\) nem az. Hány olyan darabos szám van, amelynek csak 30-nál kisebb prímosztói vannak?

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(3 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 4949. Az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszög \(\displaystyle B\)-ből, illetve \(\displaystyle C\)-ből induló magasságának talppontja \(\displaystyle D\), illetve \(\displaystyle E\). Legyen \(\displaystyle P\) az \(\displaystyle AD\), \(\displaystyle Q\) pedig az \(\displaystyle AE\) szakasz olyan belső pontja, amelyre \(\displaystyle EDPQ\) húrnégyszög. Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle BP\) és \(\displaystyle CQ\) szakaszok az \(\displaystyle A\)-ból induló súlyvonalon metszik egymást.

(3 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 4950. Jelöljük \(\displaystyle F_n\)-nel az \(\displaystyle n\)-edik Fibonacci-számot (\(\displaystyle F_1=F_2=1\), \(\displaystyle F_{n+2}= F_{n+1}+F_n\)), és definiáljuk az \(\displaystyle a_0,a_1,a_2,\dots\) sorozatot a következő rekurzióval: legyen \(\displaystyle a_0=2018\), és minden \(\displaystyle k\ge 0\)-ra legyen \(\displaystyle a_{k+1}=a_k+F_n\), ahol \(\displaystyle F_n\) a legnagyobb \(\displaystyle a_k\)-nál kisebb Fibonacci-szám. Előfordul-e az \(\displaystyle (a_k)\) sorozatban Fibonacci-szám?

(4 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 4951. A \(\displaystyle V\) halmaz elemei olyan \(\displaystyle n\)-dimenziós vektorok (rendezett szám \(\displaystyle n\)-esek), amelyek minden koordinátája \(\displaystyle -1\), \(\displaystyle 0\) vagy \(\displaystyle 1\). Semelyik három különböző \(\displaystyle V\)-beli vektor összege nem a nullvektor. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle |V|\le 2\cdot 3^{n-1}\).

(4 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 4952. Át lehet-e darabolni véges sok egyenes vágással egy kockát két kisebb egybevágó kockába?

Javasolta: Gyenes Zoltán (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 4953. Bizonyítsuk be, hogy minden \(\displaystyle n>1\) egész számra

\(\displaystyle \ln n+\sqrt{\frac12}+\sqrt{\frac23}+\ldots +\sqrt{\frac{n-1}{n}}<\sqrt2+\sqrt{\frac32}+\sqrt{\frac43}+\ldots +\sqrt{\frac{n}{n-1}}\,. \)

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 4954. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle A\) csúcsán keresztül húzzunk egy \(\displaystyle BC\)-vel párhuzamos \(\displaystyle \ell\) egyenest. Az \(\displaystyle \ell\) messe az \(\displaystyle ABC\), illetve az \(\displaystyle ACB\) szög belső szögfelezőjét \(\displaystyle K\)-ban, illetve \(\displaystyle L\)-ben. A beírt kör \(\displaystyle BC\)-n levő érintési pontja \(\displaystyle D\). Mutassuk meg, hogy a körülírt kör a \(\displaystyle KL\) szakasz Thalész-körét két pontban metszi, és ez a két pont kollineáris \(\displaystyle D\)-vel.

(6 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 4955. Legyen \(\displaystyle n\) pozitív egész. Nemnegatív egészekből legfeljebb hány \(\displaystyle (x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2),\ldots\) rendezett hármast lehet megadni úgy, hogy a következő feltételek teljesüljenek?

(1) Mindegyik \(\displaystyle i\)-re \(\displaystyle x_i + y_i + z_i = n\).

(2) Az \(\displaystyle x_1,x_2,\ldots\) számok mind különbözők, az \(\displaystyle y_1,y_2,\ldots\) számok mind különbözők, és a \(\displaystyle z_1,z_2,\ldots\) számok is mind különbözők.

Adjunk meg egy ilyen tulajdonságú, maximális hosszúságú sorozatot.

Javasolta: Erben Péter (Budapest)

(6 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 4956. Az \(\displaystyle ABCD\) tetraédert mindegyik csúcsából lekicsinyítettük; így kaptuk az \(\displaystyle AA_bA_cA_d\), \(\displaystyle B_aBB_cB_d\), \(\displaystyle C_aC_bCC_d\) és \(\displaystyle D_aD_bD_cD\) kisebb tetraédereket, amelyek közül semelyik kettőnek nincs közös pontja. Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle {A_b B_c C_d D_a}\), \(\displaystyle {A_b B_d D_c C_a}\), \(\displaystyle {A_c C_b B_d D_a}\), \(\displaystyle {A_c C_d D_b B_a}\), \(\displaystyle {A_d D_b B_c C_a}\) és \(\displaystyle {A_d D_c C_b B_a}\) tetraéderek térfogata egyenlő.

Javasolta: Kocsis Szilveszter (Budapest)

(6 pont)

megoldás, statisztika

A-jelű feladatok A beküldési határidő 2018. május 10-én LEJÁRT.

---

A. 722. A Hawking Űrtársaság a Lokális Galaxiscsoport \(\displaystyle n\) élhető bolygója között \(\displaystyle n-1\) darab rögzített árú járatot üzemeltet (az ár oda és vissza mindig megegyezik). Tudjuk, hogy e járatokkal bármelyik élhető bolygóról bármelyik élhető bolygóra el lehet jutni.

Az Űrtársaság központjának falán egy jól látható tábla található, melyen egy arckép mellett fel van tüntetve bármely két különböző élhető bolygóhoz az őket összekötő legolcsóbb járatsorozat ára. Tegyük fel, hogy ezen a táblán éppen az \(\displaystyle 1,2,\dots,\binom n2\) egységnyi pénzmennyiségek szerepelnek valamilyen sorrendben. Igazoljuk, hogy \(\displaystyle n\) vagy \(\displaystyle n-2\) négyzetszám.

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

A. 723. Legyen \(\displaystyle f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}\) olyan folytonos függvény, melyre bármely \(\displaystyle x\) valós szám esetén létezik a

\(\displaystyle g(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2} \)

határérték. Mutassuk meg, hogy ha \(\displaystyle g(x)\) konstans, akkor \(\displaystyle f(x)\) legfeljebb másodfokú polinomfüggvény.

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

A. 724. Az \(\displaystyle ABCD\) tetraéder belsejében úgy helyezkedik el a \(\displaystyle \mathcal{G}\) gömb, hogy érinti az \(\displaystyle ABD\), \(\displaystyle ACD\) és \(\displaystyle BCD\) lapokat, de nincs közös pontja az \(\displaystyle ABC\) síkkal. Legyen \(\displaystyle E\) az a pont a tetraéder belsejében, amelyre \(\displaystyle \mathcal{G}\) érinti az \(\displaystyle ABE\), \(\displaystyle ACE\) és \(\displaystyle BCE\) síkokat is. A \(\displaystyle DE\) egyenes döfje az \(\displaystyle ABC\) lapot \(\displaystyle F\)-ben, és legyen \(\displaystyle L\) a \(\displaystyle \mathcal{G}\) gömbnek az \(\displaystyle ABC\) síkhoz legközelebbi pontja. Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle FL\) szakasz átmegy az \(\displaystyle ABCE\) tetraéderbe írt gömb középpontján.

(5 pont)

statisztika