Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A KöMaL 2019. áprilisi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2019. május 10-én LEJÁRT.


C. 1539. Az \(\displaystyle ABCD\) négyzet \(\displaystyle AB\) oldalának \(\displaystyle A\)-hoz közelebbi negyedelőpontját jelölje \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\) pedig legyen a \(\displaystyle BD\) átló tetszőleges pontja. Határozzuk meg az \(\displaystyle AF+EF\) összeg minimumát.

(5 pont)

megoldás


C. 1540. Az \(\displaystyle ax^2+bx+c\) másodfokú polinom együtthatói egész számok, közülük \(\displaystyle a>0\). A polinomnak két különböző, 1-nél kisebb pozitív gyöke van. Határozzuk meg \(\displaystyle a\) lehetséges legkisebb értékét.

(5 pont)

megoldás


C. 1541. Bizonyítsuk be, hogy létezik 2019 egymást követő pozitív egész szám, melyek között pontosan 19 darab prím található.

(5 pont)

megoldás


C. 1542. Az \(\displaystyle ABC\) derékszögű háromszög befogóinak hossza 5 és 12. A \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\) és \(\displaystyle R\) pontok a háromszög beírt körén helyezkednek el úgy, hogy a \(\displaystyle PQR\) háromszög hasonló az \(\displaystyle ABC\) háromszöghöz. Határozzuk meg a \(\displaystyle PQR\) háromszög oldalainak hosszát.

(5 pont)

megoldás


C. 1543. Az \(\displaystyle n\) pozitív egész kitevő mely értékei esetén lesz \(\displaystyle 2^n+1\) vagy \(\displaystyle 2^n-1\) osztható 9-cel?

(5 pont)

megoldás


C. 1544. Az \(\displaystyle ABCD\) érintőtrapéz átlóinak metszéspontja \(\displaystyle E\). Az \(\displaystyle ABE\), \(\displaystyle BCE\), \(\displaystyle CDE\) és \(\displaystyle DAE\) háromszögekbe beírt körök sugarai rendre \(\displaystyle r_1\), \(\displaystyle r_2\), \(\displaystyle r_3\) és \(\displaystyle r_4\). Bizonyítsuk be, hogy

\(\displaystyle \frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_3}=\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_4}. \)

(5 pont)

megoldás


C. 1545. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert a valós számpárok halmazán:

$$\begin{align*} x^2-y^2 & =\log_2 \frac yx,\\ 3^{x^2+y^2-1}-4\cdot3^{xy}+9 & =0. \end{align*}$$

(Román versenyfeladat)

(5 pont)

megoldás


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2019. május 10-én LEJÁRT.


B. 5022. Adott a síkon néhány egységsugarú kör, mindegyik középpontját kékre színezzük. A körvonalakon megjelölünk néhány pontot pirossal úgy, hogy minden körvonalra pontosan 2 piros pont illeszkedjen. Legfeljebb mekkora a kék pontok száma, ha összesen 25 színezett pont van?

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(3 pont)

megoldás


B. 5023. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben \(\displaystyle ACB\sphericalangle=90^{\circ}\) és \(\displaystyle AC>BC\). A háromszög köré írt kör \(\displaystyle C\)-t nem tartalmazó \(\displaystyle AB\) ívének felezőpontja \(\displaystyle X\). A \(\displaystyle CX\)-re \(\displaystyle X\)-ben állított merőleges a \(\displaystyle CA\) egyenest a \(\displaystyle P\) pontban metszi. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle AP=BC\).

Javasolta: Surányi László (Budapest)

(3 pont)

megoldás


B. 5024. Legyen \(\displaystyle p\) egy páratlan prímszám. A \(\displaystyle \binom{p-2}{0}, \binom{p-2}{1}, \ldots, \binom{p-2}{p-2}\) számok mindegyikét maradékosan elosztjuk \(\displaystyle p\)-vel. Hányféle különböző maradékot kapunk?

Javasolta: Gyenes Zoltán és Hujter Bálint (Budapest)

(4 pont)

megoldás


B. 5025. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt körének középpontja \(\displaystyle I\), a kör a \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CA\) és \(\displaystyle AB\) oldalakat rendre a \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\) pontokban érinti. Legyen \(\displaystyle M\) a \(\displaystyle BC\) oldal tetszőleges, \(\displaystyle D\)-től különböző belső pontja, a \(\displaystyle DI\) és \(\displaystyle EF\) egyenesek metszéspontja \(\displaystyle T\), az \(\displaystyle MT\) szakasz felezőpontja \(\displaystyle K\). Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle DEF\), \(\displaystyle TDM\) és \(\displaystyle KIT\) körök egy ponton mennek át.

Javasolta: Murad Agazade (Azerbajdzsán)

(5 pont)

megoldás


B. 5026. Adott ellipszis nagytengelyének végpontjaitól különböző tetszőleges \(\displaystyle P\) pontját kössük össze az \(\displaystyle F_1\), \(\displaystyle F_2\) fókuszpontokkal. Az \(\displaystyle F_1PF_2\sphericalangle\) szögfelezője \(\displaystyle E\)-ben metszi \(\displaystyle F_1F_2\)-t. A \(\displaystyle P\)-n átmenő, \(\displaystyle F_1F_2\)-t \(\displaystyle E\)-ben érintő kör \(\displaystyle PF_1\)-et \(\displaystyle G\)-ben, \(\displaystyle PF_2\)-t \(\displaystyle H\)-ban metszi. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle GH\) hossza nem függ \(\displaystyle P\) megválasztásától.

Javasolta: Németh László (Fonyód)

(4 pont)

megoldás


B. 5027. Gombóc Artúr az Édes utca 1. szám alatt lakik, a csokibolt pedig az utca másik végén, az \(\displaystyle n\)-edik szám alatt található. Artúr minden nap a következő fitneszedzést tartja: elindul a 2-es számú ház elől. Ha a \(\displaystyle k\)-adik számú ház előtt áll (ahol \(\displaystyle 1<k<n\)), akkor feldobja lejárt szavatosságú, de szabályos csokiérméjét. Fej esetén átmegy a \(\displaystyle (k-1)\)-es számú, míg írás esetén a \(\displaystyle (k+1)\)-es számú ház elé. Ha a csokibolt elé ér, akkor betér, és legurít egy csokigolyót, majd az \(\displaystyle (n-1)\)-es számú ház elé megy. Ha hazaér, vége az edzésnek. Naponta átlagosan hány csokigolyót gurít le Artúr?

(5 pont)

megoldás


B. 5028. Ha \(\displaystyle P\) az \(\displaystyle XYZ\) hegyesszögű háromszög \(\displaystyle YZ\) oldalának egy pontja, akkor jelölje \(\displaystyle f(P;XYZ)\) a \(\displaystyle P\)-ből az \(\displaystyle XY\), illetve \(\displaystyle XZ\) egyenesekre bocsátott merőlegesek talppontjaira illeszkedő egyenest.

Legyen az \(\displaystyle ABC\) háromszög magasságpontja \(\displaystyle H\), talpponti háromszöge \(\displaystyle A'B'C'\). Legyen \(\displaystyle A''\equiv f(B';HCA) \cap f(C';HAB)\). Hasonlóan definiáljuk a \(\displaystyle B''\) és \(\displaystyle C''\) pontokat. Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle AA''\), \(\displaystyle BB''\) és \(\displaystyle CC''\) egyenesek egy ponton mennek át.

Javasolta: K V Sudharshan

(6 pont)

megoldás


B. 5029. Tegyük fel, hogy egy focicsapat eddigi története során 1000 mérkőzést játszott és összesen 1000 pontot szerzett. (Győzelem esetén 3 pontot, döntetlen esetén 1 pontot kap, vereség esetén pedig nem kap pontot egy csapat.) Bizonyítsuk be, hogy a meccseken szerzett pontok sorozata legfeljebb \(\displaystyle {(2{,}9)}^{1000}\)-féle lehet.

(6 pont)

megoldás


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2019. május 10-én LEJÁRT.


A. 749. Adott két poliominó. Az egyik egy három négyzetből álló L-alak, a másik legalább két négyzetből áll. Bizonyítsuk be, hogy ha \(\displaystyle n\) és \(\displaystyle m\) relatív prímek, akkor az \(\displaystyle n\times n\)-es és az \(\displaystyle m\times m\)-es tábla közül legfeljebb az egyik rakható ki a két poliominó eltoltjaival.

Javasolta: Imolay András, Matolcsi Dávid, Schweitzer Ádám és Szabó Kristóf (Budapest)

(7 pont)

megoldás


A. 750. Legyen \(\displaystyle k_1,\ldots,k_5\) öt kör a síkban úgy, hogy \(\displaystyle k_1\) és \(\displaystyle k_2\) kívülről érintik egymást a \(\displaystyle T\) pontban, \(\displaystyle k_3\) és \(\displaystyle k_4\) kívülről érinti a \(\displaystyle k_1\)-et és a \(\displaystyle k_2\)-t is, \(\displaystyle k_5\) az \(\displaystyle U\), illetve a \(\displaystyle V\) pontban kívülről érinti \(\displaystyle k_3\)-at, illetve \(\displaystyle k_4\)-et, továbbá \(\displaystyle k_5\) a \(\displaystyle P\) és a \(\displaystyle Q\) pontban metszi \(\displaystyle k_1\)-et az ábra szerint.

Mutassuk meg, hogy

\(\displaystyle \frac{PU\cdot PV}{QU\cdot QV} = \frac{PT^2}{QT^2}. \)

(7 pont)


A. 751. Legyen \(\displaystyle c>0\) valós szám, és tegyük fel, hogy bármely \(\displaystyle n\) pozitív egész esetén az \(\displaystyle 1^c,2^c,3^c,\ldots,n^c\) számoknak legalább az egy százaléka egész. Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle c\) egész szám.

(7 pont)

megoldás


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)