A KöMaL 2022. januári matematika feladatai

K-jelű feladatok A beküldési határidő 2022. február 10-én LEJÁRT.

K. 714. Egy sorozat első tagja 3, és a következő tagot mindig úgy képezzük, hogy az előző tag kétszereséből kivonunk 2-t.

\(\displaystyle a)\) Írjuk fel a sorozat első 8 tagját.

\(\displaystyle b)\) Az alábbi számok közül melyik szám tagja a sorozatnak és melyik nem? Ha a szám tagja a sorozatnak, akkor mondjuk meg, hányadik tagja, ha pedig nem, indokoljuk, miért nem.

\(\displaystyle 8194,\quad 649\,287\,365,\quad 29\,453\,759\,372,\quad 8\,398\,507\,839\,348. \)

(5 pont)

megoldás, statisztika

K. 715. Van két darab kétliteres kancsónk. Az elsőbe 2 liter 100%-os narancslevet öntünk, a másodikba 1 liter vizet.

1. A narancslé felét átöntjük a vizeskancsóba, annak tartalmát egy kanállal összekeverjük, majd visszatöltünk 1 liter folyadékot az első kancsóba.

2. Ezt az 1 literes áttöltést keveréssel együtt megismételjük még egyszer, tehát az első kancsóból 1 litert keverés után áttöltünk a másodikba, összekeverjük a tartalmát, majd visszaöntünk 1 litert az elsőbe.

Ezek után melyik kancsóban hány százalékos az üdítő a narancslére nézve?

(5 pont)

megoldás, statisztika

K. 716. Egy boltban három füzet és két toll ára 1110 Ft, öt füzet és négy toll ára pedig 2010 Ft. Mennyibe kerül egy füzet és mennyibe kerül egy toll?

(5 pont)

megoldás, statisztika

K/C-jelű feladatok A beküldési határidő 2022. február 10-én LEJÁRT.

K/C. 717. Egy szabályos

\(\displaystyle ABCDEFGHIJKL \)

tizenkétszög \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle GH\) oldalára az \(\displaystyle ABPQ\) és \(\displaystyle GHRS\) négyzeteket írjuk befelé az ábrán látható módon. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle PQ\) és \(\displaystyle RS\) egy szabályos hatszög két szemközti oldala.

(5 pont)

megoldás, statisztika

K/C. 718. Hány olyan szám van 1-től 50-ig, amit fel lehet írni legalább két szomszédos nemnegatív egész szám összegeként?

(5 pont)

megoldás, statisztika

C-jelű feladatok A beküldési határidő 2022. február 10-én LEJÁRT.

C. 1699. Határozzuk meg, hogy az \(\displaystyle (x+1)\cdot(x^2+1)\cdot(x^3+1)\cdot\ldots \cdot(x^{12}+1)\) szorzatban szereplő műveleteket elvégezve, összevonás után mennyi az \(\displaystyle x^{14}\) hatvány együtthatója.

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1700. Az \(\displaystyle O\) középpontú körnek az \(\displaystyle O\)-tól különböző belső pontja \(\displaystyle A\). A kör kerületének egy \(\displaystyle B\) pontjára \(\displaystyle OAB\sphericalangle=\alpha\). Legyen \(\displaystyle C\) a körvonal egy olyan pontja, amelyre \(\displaystyle BAC\sphericalangle=\beta\) jelöléssel \(\displaystyle 2\alpha+\beta=180^{\circ}\) teljesül és a \(\displaystyle BAO\sphericalangle\) és \(\displaystyle BAC\sphericalangle\) szögtartományoknak az \(\displaystyle AB\) félegyenesen kívül nincs közös pontja. Igazoljuk, hogy ekkor az \(\displaystyle O\), \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) pontok egy körön vannak.

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1701. Mennyi azon \(\displaystyle x\) egész számok összege, amelyekre

\(\displaystyle \sqrt{2x^2-6x-20}<-x+5 \)

teljesül?

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1702. Az \(\displaystyle ABCD\) négyszög \(\displaystyle A\) csúcsa illeszkedik az \(\displaystyle S\) síkra, \(\displaystyle BD\) átlója párhuzamos a síkkal, \(\displaystyle C\) csúcsa \(\displaystyle 8\) egység távolságra van az \(\displaystyle S\) síktól. Azt tapasztaljuk, hogy a négyszög \(\displaystyle S\)-re vonatkozó merőleges vetülete egy négyzet, melynek átlója \(\displaystyle 6\) egység. Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle ABCD\) négyszög rombusz, valamint számítsuk ki az oldalainak hosszát.

Javasolta: Zagyva Tiborné (Baja)

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1703. Az \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b \,\,10\)-es számrendszerbeli természetes számok, mindegyik számjegyük \(\displaystyle 1\)-es. Mutassuk meg, hogy ha \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) nem relatív prímek, akkor számjegyeik \(\displaystyle S(a)\) és \(\displaystyle S(b)\) összege sem az.

(5 pont)

megoldás, statisztika

B-jelű feladatok A beküldési határidő 2022. február 10-én LEJÁRT.

B. 5214. A 110 egy olyan számjegysorozat, amelyet bármilyen 1-nél nagyobb pozitív egész alapú számrendszerben tekintve páros számot kapunk. Van-e olyan 1-esekből és 0-kból álló számjegysorozat, amelyet bármilyen 1-nél nagyobb pozitív egész alapú számrendszerben tekintve 3-mal osztható pozitív egész számot kapunk?

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 5215. Adjuk meg az összes \(\displaystyle x\) pozitív valós számot, amelyre \(\displaystyle x + \frac1{x}\) egész szám és \(\displaystyle x^3 + \frac1{x^3}\) prímszám.

Szaszkó-Bogárné Eckert Bernadett és Szaszkó-Bogár Viktor ötlete alapján

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 5216. Az \(\displaystyle ABC\) derékszögű háromszög köré írt körhöz az \(\displaystyle A\) pontban és a derékszögű \(\displaystyle C\) csúcsban érintőt rajzolunk, az érintők metszéspontja \(\displaystyle D\). Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle BD\) egyenes felezi a \(\displaystyle C\)-ből induló magasságot.

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 5217. Egy háromszög súlyvonalainak \(\displaystyle \frac{2}{\sqrt3}\)-szorosából mint oldalakból újabb háromszöget szerkesztünk. Az eljárást megismételjük a kapott háromszögre. Mutassuk meg, hogy a második lépésben az eredetivel egybevágó háromszöget kapunk.

Javasolta: Bártfai Pál (Budapest)

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 5218. Legfeljebb hány választható ki az első \(\displaystyle 2022\) pozitív egész szám közül úgy, hogy semelyik két kiválasztott szám különbsége ne legyen prímszám?

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 5219. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) valós számokra

\(\displaystyle \frac{|a+b+c|}{1+|a+b+c|}\le \frac{|a|}{1+|a|}+\frac{|b|}{1+|b|}+\frac{|c|}{1+|c|}. \)

Mikor áll fenn egyenlőség?

Javasolta: Schultz János (Szeged)

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 5220. Legyen \(\displaystyle n\) pozitív egész szám. Mutassuk meg, hogy megadható \(\displaystyle 1\)-től \(\displaystyle 2^{n+2}\)-ig \(\displaystyle n\) négyzetszám úgy, hogy közülük akárhány különbözőt összeadva (beleértve az egytagú összegeket és az összes szám összegét is) csupa különböző számot kapjunk. (Lásd Freud Róbert cikkét a 2. oldalon.)

Javasolta: Freud Róbert (Budapest)

(6 pont)

megoldás, statisztika

B. 5221. Az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszögben a beírt kör érintési pontja a \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CA\), \(\displaystyle AB\) oldalon rendre \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\), illetve \(\displaystyle F\). A háromszög köré írt kör az \(\displaystyle AEF\) kört az \(\displaystyle A\)-tól különböző \(\displaystyle P\), a \(\displaystyle BFD\) kört a \(\displaystyle B\)-től különböző \(\displaystyle Q\), a \(\displaystyle CDE\) kört pedig a \(\displaystyle C\)-től különböző \(\displaystyle R\) pontban metszi. Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle DP\), \(\displaystyle EQ\) és \(\displaystyle FR\) egyenesek egy ponton mennek át.

Javasolta: Lovas Márton (Budapest)

(6 pont)

megoldás, statisztika

A-jelű feladatok A beküldési határidő 2022. február 10-én LEJÁRT.

A. 815. Legyen \(\displaystyle q\) egy 1 főegyütthatós, egész együtthatós polinom. Bizonyítandó, hogy létezik olyan, csak a \(\displaystyle q\) polinomtól függő \(\displaystyle C\) konstans, melyre tetszőleges \(\displaystyle p\) prímszám és tetszőleges \(\displaystyle N\le p\) pozitív egész esetén az \(\displaystyle n! \equiv q(n) \pmod{p}\) kongruenciának legfeljebb \(\displaystyle CN^{2/3}\) megoldása van bármely \(\displaystyle N\) darab egymást követő egész között.

Javasolta: Navid Safaei (Irán)

(7 pont)

megoldás, statisztika

A. 816. Petinek 2022 darab látszólag egyforma mágneses vasúti kocsija van, melyek kétféle típusúak: bizonyosoknak az eleje északi és a hátulja déli, másoknak pedig a hátulja északi és az eleje déli mágneses polaritású (ezek olyan játékkocsik, melyek eleje és hátulja megkülönböztethető). Peti szeretné eldönteni, hogy egyforma számú van-e a kétféle típusú kocsiból. Egy próba során össze lehet illeszteni két vasúti kocsit. Legkevesebb hány próbára van ehhez szükség?

Javasolta: Pálvölgyi Dömötör (Budapest)

(7 pont)

megoldás, statisztika

A. 817. Legyen \(\displaystyle ABC\) egy tetszőleges háromszög. Tekintsük azt a kört, amely érinti az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle AC\) oldalt, és belülről érinti a háromszög körülírt körét a \(\displaystyle T\) pontban. A háromszög beírt körének középpontja legyen \(\displaystyle I\), és a beírt kör érintse a \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CA\), illetve \(\displaystyle AB\) oldalt a \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\), illetve \(\displaystyle F\) pontban. Legyen \(\displaystyle N\) a \(\displaystyle DF\) szakasz felezőpontja. Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle BTN\) háromszög körülírt köre, a \(\displaystyle TI\) egyenes és a \(\displaystyle D\) pontból az \(\displaystyle EF\) szakaszra állított merőleges egy ponton megy át.

Javasolta: Diaconescu Tashi (Románia)

(7 pont)

megoldás, statisztika