A KöMaL 2024. októberi matematika feladatai

K-jelű feladatok A beküldési határidő 2024. november 11-én LEJÁRT.

---

K. 824. Az \(\displaystyle \textrm{ABABABABABAB}\) betűsorból kiindulva minden lépésben felcserélhetünk két szomszédos betűt. Legalább hány lépésre van szükség ahhoz, hogy eljussunk az \(\displaystyle \textrm{AAAAAABBBBBB}\) betűsorhoz?

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

K. 825. Tekintsünk a síkon \(\displaystyle 4202\) különböző pontot. Van-e olyan kör, amelyik ezek közül egyiken sem megy át, továbbá amelynek a belsejébe ezen pontok közül pontosan \(\displaystyle 2024\) db esik?

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

K. 826. Igazoljuk, hogy ha hét egymást követő pozitív egész szám szorzata osztható \(\displaystyle 1000\)-rel, akkor kiválasztható közülük három, amelyek szorzata szintén osztható \(\displaystyle 1000\)-rel.

(5 pont)

megoldás, statisztika

K/C-jelű feladatok A beküldési határidő 2024. november 11-én LEJÁRT.

---

K/C. 827. Egy hatszög minden szöge \(\displaystyle 120^{\circ}\). Mutassuk meg, hogy bármelyik két szomszédos oldal összege megegyezik a szemben fekvő szomszédos oldalak hosszának összegével.

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

K/C. 828. Van-e két olyan pozitív egész szám, amelyek négyzetösszege megegyezik a legkisebb közös többszörösükkel?

(5 pont)

megoldás, statisztika

C-jelű feladatok A beküldési határidő 2024. november 11-én LEJÁRT.

---

C. 1823. Okos Pali kiment egyszer a piacra, hogy ott eladjon \(\displaystyle 30\) darab almát. Úgy tervezte, hogy három almáért egy krajcárt fog kérni, vagyis összesen \(\displaystyle 10\) krajcár bevételre számított. A piacon találkozott egy emberrel, aki ugyancsak almát árult. Ennek az embernek is \(\displaystyle 30\) eladó almája volt, de ő egy krajcárért csak két almát adott, vagyis összesen \(\displaystyle 15\) krajcár bevételt remélt. Okos Pali megunta a piaci nyüzsgést, átadta a maga \(\displaystyle 30\) almáját az embernek azzal, hogy adja el azokat is, mégpedig úgy, hogy öt alma ára legyen két krajcár, és azt mondta, hogy a maga bevételéért később visszajön.

\(\displaystyle a)\) Ha ez az ember Pali gondolatát elfogadva mind a \(\displaystyle 60\) almát eladta és a saját maga által tervezett bevételt megtartotta, akkor hány krajcár maradt Okos Palinak?

\(\displaystyle b)\) Hány krajcárért kellett volna adni a \(\displaystyle 60\) alma darabját, hogy mindketten megkapják az eredetileg tervezett bevételüket?

Mikszáth Kálmán ,,Pali pályája'' című elbeszélése alapján

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1824. Jövőre Boglárka tíz különböző könyvet szeretne elolvasni; minél vastagabb egy könyv, annál hosszabb ideig foglalkozik majd vele. Elhatározta, hogy \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 10\), \(\displaystyle 15\), \(\displaystyle \ldots\) \(\displaystyle 45\), \(\displaystyle 50\) napot szán az egyes könyvek elolvasására. A fennmaradó időszakot három egyenlő részre osztja, amelyet aktív pihenésre használ. Ezeket a pihenő időszakokat sportolásra bármikor felhasználhatja az év során (akár egymás után többet is). Ha két könyvet pihenő időszak közbeiktatása nélkül kell elolvasnia, akkor mindig a vastagabbal fogja kezdeni. Hány különböző módon oszthatja be a \(\displaystyle 365\) napot Boglárka a könyvek elolvasására?

Javasolta: Kozma Katalin Abigél, Győr

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1825. Az \(\displaystyle e\) egyenes a \(\displaystyle k_1\) kört a különböző \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pontokban metszi. A \(\displaystyle k_2\) kör a \(\displaystyle C\) pontban érinti a \(\displaystyle k_1\) kört és a \(\displaystyle D\) pontban az \(\displaystyle e\) egyenest. A \(\displaystyle CD\) egyenes és a \(\displaystyle k_1\) kör másik metszéspontja \(\displaystyle T\). Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle AT=TB\).

Svájci olimpiai feladat

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1826. Bizonyítsuk be, hogy ha \(\displaystyle 0<x\leq 1\), akkor

\(\displaystyle \sqrt{1-x}+\sqrt{4-x}<1+\sqrt{4-3x}. \)

Javasolta: Hujter Mihály, Budapest

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1827. Bizonyítsuk be, hogy ha két derékszögű háromszög kerülete egyaránt \(\displaystyle 1\) egység, akkor az átfogóik hossza közötti különbség kisebb, mint \(\displaystyle 1{,}5-\sqrt{2}\).

Javasolta: Csizmazia Norbert, Pécs

(5 pont)

megoldás, statisztika

B-jelű feladatok A beküldési határidő 2024. november 11-én LEJÁRT.

---

B. 5406. Bizonyítandó, hogy a

\(\displaystyle \sqrt{\frac{123456787654321}{1234321}}=10\,001 \)

egyenlőség fennáll az \(\displaystyle n\) alapú számrendszerben, ha \(\displaystyle n \geq 9\).

Javasolta: Hujter Mihály (Budapest)

(3 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5407. Melyek azok az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle d\) pozitív egész számok, amelyekre teljesül, hogy

\(\displaystyle \dfrac{b}{a}=\dfrac{c}{b}=\dfrac{d}{c}\quad\text{és}\quad\dfrac{a+c}{2}=b+1? \)

Javasolta: Sztranyák Attila (Budapest)

(4 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5408. Egy háromszög egyik oldala számtani közepe a másik kettőnek. Bizonyítandó, hogy ezen középső oldalt kettévágó szögfelező hossza \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\)-szerese a másik két oldal mértani közepének.

Javasolta: Hujter Mihály (Budapest)

(4 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5409. A magyar kártya minden lapjának van színe és van értéke. Bármelyik lap színe lehet „piros”, „tök”, „zöld” és „makk”, és bármelyik lap értéke lehet „VII”, „VIII”, „IX”, „X”, „alsó”, „felső”, „király” vagy „ász”. A kártyacsomag lapjai között minden lehetséges szín-érték párosítás előfordul. A 32 lapból álló kártyacsomag lapjait véletlenszerűen letesszük egy 4 sorból és 8 oszlopból álló elrendezésbe. Legyen \(\displaystyle A\) az az esemény, hogy nincs olyan oszlop, amelyben két lap színe megegyezik, \(\displaystyle B\) pedig az az esemény, hogy nincs olyan sor, amelyben két lap értéke megegyezik. Melyik esemény valószínűsége nagyobb?

Javasolta: Bertalan Zoltán (Békéscsaba)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5410. Egy derékszögű háromszög csúcsai köré úgy írunk köröket, hogy egymást páronként kívülről érintik. Határozzuk meg annak a körnek a középpontját és sugarát, amelyet mindhárom kör belülről érint.

Javasolta: Németh László (Fonyód)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5411. Mutassuk meg, hogy minden \(\displaystyle n\ge 2\) pozitív egész szám esetén

\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n^2-1} \left[ \sqrt{k} \right]^2=\frac{(n-1)n(3n^2-n-1)}{6}. \)

Az \(\displaystyle [x]\) az \(\displaystyle x\) valós szám egészrészét jelenti.

Javasolta: Bencze Mihály (Brassó)

(4 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5412. Egy összefüggő véges gráf egyik csúcsában van egy szökevény, akit a gráf három másik csúcsában lévő rendőrök szeretnének elkapni. Először a szökevény lép egyet egy él mentén, majd a rendőrök is léphetnek egyet-egyet, szintén élek mentén. Ezután ezt így folytatják felváltva. Biztosan el tudják-e kapni a rendőrök a szökevényt, vagyis garantálni tudják-e, hogy valamelyikük véges sok lépésen belül a szökevénnyel egy csúcsra kerüljön?

Javasolta: Pach Péter Pál (Budapest)

(6 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5413. Legyen az \(\displaystyle ABC\) nem szabályos háromszög magasságpontja \(\displaystyle M\), súlypontja \(\displaystyle S\), beírt körének középpontja \(\displaystyle I\). Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle MIS\sphericalangle>90^\circ\).

Javasolta: Vígh Viktor (Sándorfalva)

(6 pont)

megoldás, statisztika

A-jelű feladatok A beküldési határidő 2024. november 11-én LEJÁRT.

---

A. 887. A derékszögű koordináta-rendszerben adott egy önmagát nem metsző sokszög, melynek a kerületén nincs rácspont, és a csúcsainak nincs egész koordinátája. Egy pontot félegésznek nevezünk, ha pontosan az egyik koordinátája egész. Jelölje \(\displaystyle P_1\), \(\displaystyle P_2\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle P_k\) a sokszög kerületén lévő félegész pontokat. Jelölje \(\displaystyle n_i\) a \(\displaystyle P_i\) pont nem egész koordinátájának alsó egészrészét. Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle n_1\), \(\displaystyle n_2\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle n_k\) számokat két részre lehet úgy osztani, hogy a két részben a számok összege megegyezzen.

Javasolta: Bán-Szabó Áron (Budapest)

(7 pont)

megoldás, statisztika

---

A. 888. Legyen \(\displaystyle n\) egy rögzített pozitív egész szám. Határozzuk meg a legkisebb \(\displaystyle k\) pozitív egész számot, melyre teljesül a következő állítás: tetszőleges \(\displaystyle G\) egyszerű, összefüggő gráf és \(\displaystyle V_1\), \(\displaystyle V_2\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle V_n\) minimális vágások esetén legfeljebb \(\displaystyle k\) csúcs választható ki úgy, hogy bármely két kiválasztott csúcshoz létezzen egy \(\displaystyle 1 \leq i \leq n\) egész szám, melyre a két kiválaszott csúcsot elválasztja \(\displaystyle V_i\).

A gráf \(\displaystyle V\) csúcshalmazának két diszjunkt nemüres részre való bontását minimális vágásnak nevezzük, ha a két rész között haladó élek száma minimális.

Javasolta: Imolay András (Budapest)

(7 pont)

megoldás, statisztika

---

A. 889. Legyenek \(\displaystyle W, A, B\) rögzített valós számok, ahol \(\displaystyle W>0\). Bizonyítsuk be, hogy az alábbi állítások ekvivalensek.

• Ha az \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\), \(\displaystyle z\geq 0\) számokra teljesül, hogy \(\displaystyle x+y\leq z+W\), \(\displaystyle x+z\leq y+W\), \(\displaystyle {y+z\leq x+W}\), akkor \(\displaystyle Axyz+B\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}\).
• \(\displaystyle B\geq W^{2}\) és \(\displaystyle AW^{3}+B\geq 3W^{2}\).

Javasolta: Somogyi Ákos (London)

(7 pont)

megoldás, statisztika