A KöMaL 2024. novemberi matematika feladatai
Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.
Feladat típusok elrejtése/megmutatása:
 |
K-jelű feladatokA beküldési határidő 2024. december 10-én LEJÁRT. |
K. 829. Melyik az a két legkisebb szomszédos pozitív egész szám, amelyeknek a számjegyeit összeadva éppen 2024-et kapunk?
(5 pont)
K. 830. Egyes úszóversenyeken rendeznek úgynevezett mix (vegyes összeállítású) \(\displaystyle 4\times100~\mathrm{m}\) vegyesváltó versenyt. Ez azt jelenti, hogy két férfi és két nő alkotja a csapatot, és minden úszásnemben \(\displaystyle 100\) métert kell teljesíteni. Az szabadon választható, hogy melyik úszásnemben versenyeznek a csapat női és férfi tagjai.
A legjobb időt elért versenyzők \(\displaystyle 100\) méteres részeredményeinek táblázata a következő:
Feltételezve, hogy egy versenyen pontosan ugyanezt az eredmény tudják produkálni, milyen összeállítású legyen a csapat, hogy a legjobb időeredményt érjék el?
(5 pont)
K. 831. Négy egybevágó téglalapot úgy helyeztünk el az ábrának megfelelően, hogy egy nagy külső négyzet és egy kis belső négyzet alakult ki.
A nagy négyzet és egy téglalap területének aránya \(\displaystyle 25:6\), továbbá a kis belső négyzet területe \(\displaystyle 144~\mathrm{cm}^2\). Hány centiméter hosszúak a téglalapok oldalai?
(5 pont)
 |
K/C-jelű feladatokA beküldési határidő 2024. december 10-én LEJÁRT. |
K/C. 832. Kilenc angol lord klubok alapítását tervezi. Olyanokat, hogy minden klubban pontosan hárman legyenek közülük, de semelyik két klubnak ne legyen egynél több közös tagja. Legfeljebb hány klubot alapíthatnak?
(5 pont)
K/C. 833. Adott az ábra szerinti \(\displaystyle {20~\mathrm{cm}\times 30~\mathrm{cm}}\) méretű, téglalap alakú papírlap. Az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle C\) csúcsát egymásra hajtva a hajtásegyenes a téglalap \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle CD\) oldalait a \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\) pontokban metszi. Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle APCQ\) négyszög rombusz, és számoljuk ki a területét.
(5 pont)
 |
C-jelű feladatokA beküldési határidő 2024. december 10-én LEJÁRT. |
C. 1828. Anna össze akarta adni a pozitív egész számokat \(\displaystyle 1\)-től \(\displaystyle 500\)-ig, ám véletlenül kihagyott egy háromjegyű számot. Hány olyan szám van, amelyet kihagyhatott, ha eredményül egy \(\displaystyle 3\)-mal osztható, \(\displaystyle 3\)-ra végződő számot kapott?
Javasolta: Kozma Katalin Abigél (Győr)
(5 pont)
C. 1829. Az egységnyi oldalú \(\displaystyle ABCD\) négyzet \(\displaystyle AB\) oldalán úgy vettük fel az \(\displaystyle E\), \(\displaystyle BC\) oldalán pedig az \(\displaystyle F\) pontot, hogy \(\displaystyle EDF\sphericalangle=45^{\circ}\). Határozzuk meg az \(\displaystyle EBF\) háromszög kerületének pontos értékét.
Javasolta: Bíró Bálint (Eger)
(5 pont)
C. 1830. Az \(\displaystyle A=\{x;y;z;u;v\}\) halmaz elemei olyan természetes számok, amelyekre \(\displaystyle x+2y=3v\) és \(\displaystyle z+u=2v\). Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle A\) halmaz elemei nem lehetnek közvetlen egymás utáni természetes számok.
Matlap, Kolozsvár
(5 pont)
C. 1831. Oldjuk meg a valós számpárok halmazán a
$$\begin{gather*} 2x^3-3x^2y+2xy^2-y^3+1=0,\tag*{(1)}\\ x^3+2x^2y-xy^2-2y^3+3=0\tag*{(2)} \end{gather*}$$egyenletrendszert.
Javasolta: Bíró Bálint (Eger)
(5 pont)
C. 1832. Legyen \(\displaystyle ABC\) olyan háromszög, amelynek területe \(\displaystyle 15\sqrt{7}\), továbbá minden oldalának hossza egész szám. Mekkorák lehetnek az oldalak?
Javasolta: Szmerka Gergely (Budapest)
(5 pont)
 |
B-jelű feladatokA beküldési határidő 2024. december 10-én LEJÁRT. |
B. 5414. Adott az \(\displaystyle ABCD\) téglalap és a \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\) pontok úgy, hogy \(\displaystyle ABP\) körülírt körének középpontja \(\displaystyle Q\), míg \(\displaystyle BCQ\) körülírt körének középpontja \(\displaystyle P\). Számítsuk ki a \(\displaystyle PDQ\) szöget.
Javasolta: Hujter Bálint (Budapest)
(3 pont)
B. 5415. Beni, Lili és Domi egyszerre indulva \(\displaystyle 3\)-\(\displaystyle 3\) kört futnak az atlétikai pályán. A bíró sorban felírja azoknak a nevét, akik éppen befejeznek egy kört, és így végül egy kilenc névből álló listát kap. Hányféle lehet ez a lista, ha tudjuk, hogy egyszer sem fejezik be ketten a körüket egyszerre és mindhárman végig egyenletes sebességgel futnak?
Javasolta: Pach Péter Pál (Budapest)
(4 pont)
B. 5416. Az \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\), \(\displaystyle z\) valós számokra \(\displaystyle x+y+z=8\) és \(\displaystyle xy+yz+zx=5\). Legfeljebb mekkora lehet \(\displaystyle z\)?
Javasolta: Sztranyák Attila (Budapest)
(3 pont)
B. 5417. Melyik szám a nagyobb, \(\displaystyle \left(2^{1000}\right)! \quad \text{vagy} \quad 2^{1000!}\)?
Javasolta: Szalai Máté (Szeged)
(4 pont)
B. 5418. A hegyesszögű \(\displaystyle ABC\) háromszög oldalainak hossza \(\displaystyle a, b\) és \(\displaystyle c\), körülírt körének sugara \(\displaystyle R\). Mutassuk meg, hogy
\(\displaystyle \frac{1}{-a^2+ b^2+c^2}+\frac{1}{a^2-b^2+c^2}+\frac{1}{a^2+b^2-c^2}\ge \frac{1}{R^2}. \)
Milyen \(\displaystyle ABC\) háromszögre teljesül egyenlőség?
Javasolta: Kiss Géza (Csömör)
(5 pont)
B. 5419. Adott \(\displaystyle n\) pozitív egészre jelölje \(\displaystyle q(n)\) az \(\displaystyle n\) szám legnagyobb páratlan osztóját. Legyen \(\displaystyle P(n)=q(1)+q(2)+\ldots+q(n)\) és \(\displaystyle S(n)=1+2+\ldots+n\). Igazoljuk, hogy a \(\displaystyle P(n)/S(n)\) arány végtelen sok \(\displaystyle n\)-re kisebb, mint \(\displaystyle 2/3\), és végtelen sok \(\displaystyle n\)-re nagyobb, mint \(\displaystyle 2/3\).
Javasolta: Sztranyák Attila (Budapest)
(5 pont)
B. 5420. Ádám, a hírhedt szélhámos, a következő módon működő szerencsejátékra nevezett be. Egy szabályos \(\displaystyle 13\)-szög alakú forgóasztal mindegyik csúcsában egy piros vagy egy fekete sapka van. (Az azonos színű sapkák egymástól megkülönböztethetetlenek.)
Az egyik sapka alatt 1000 dollárt rejtettek el, a többi alatt nincsen semmi. A játékvezető megpörgeti az asztalt a középpontja körül, majd Ádám felemelhet egyetlen sapkát, és amit alatta talál, azt hazaviheti. Ádám cinkostársa, Béla, a szerencsejátékot szervező cégnél dolgozik.
Miután a sapkákat a munkatársai tetszésük szerint elhelyezték az asztal csúcsaiban, Béla feladata betenni a pénzt valamelyik sapka alá. Miután betette a pénzt,
a) ki kell cserélnie a sapkát a másik színűre,
b) kicserélheti a sapkát a másik színűre
– de a többi sapkához nem nyúlhat.
Ki tud-e dolgozni Ádám és Béla egy olyan stratégiát az a), illetve a b) esetben, amellyel biztosan megnyerik a pénzt? (Miután Béla belépett a kaszinóba, már nem beszélhet Ádámmal, és az asztalt előkészítő munkatársait sem befolyásolhatja.)
Javasolta: Damásdi Gábor (Budapest)
(6 pont)
B. 5421. A hegyesszögű \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt körének középpontja \(\displaystyle I\), sugara \(\displaystyle r\), a \(\displaystyle BC\) oldalhoz írt körének középpontja \(\displaystyle I_a\), sugara \(\displaystyle r_a\), továbbá a körülírt körének sugara \(\displaystyle R\). Az \(\displaystyle II_a\) szakasz hossza \(\displaystyle r_a+R-r\). Igazoljuk, hogy \(\displaystyle BAC\sphericalangle=60^\circ\).
Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 2024C.
(6 pont)
 |
A-jelű feladatokA beküldési határidő 2024. december 10-én LEJÁRT. |
A. 890. Bart, Lisa és Maggie a következő játékot játsszák: Bart véges sok pontot kiszínez egy körön kékre vagy pirosra olyan módon, hogy nem lehet találni a színezett pontok között négyet úgy, hogy a színük egymás után felváltva kék-piros-kék-piros (a kiválasztott pontoknak nem kell szomszédosnak lenniük), Lisa pedig kiválaszt néhány pontot a színezettek közül. Ezután Maggie megkapja a kört és a Lisa által kiválasztott pontokat Barttól (esetleg elforgatva), de szín nélkül. Végül Maggie a kör összes pontját kiszínezi kékre vagy pirosra. Lisa és Maggie megnyeri a játékot, ha Maggie eltalálja a Bart által eredetileg választott pontok színét. Egy Lisa és Maggie által megbeszélt stratégiát nyerő stratégiának nevezünk, ha Bart tetszőleges színezése esetén megnyeri a játékot.
Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan nyerő stratégiája Lisának és Maggienek, ahol Lisa minden esetben legfeljebb \(\displaystyle c\) darab pontot választ ki, és keressük meg \(\displaystyle c\) legkisebb lehetséges értékét.
Javasolta: Pálvölgyi Dömötör (Budapest)
(7 pont)
A. 891. Adott egy hegyesszögű \(\displaystyle ABC\) háromszög. A \(\displaystyle B'\) és \(\displaystyle C'\) pont rendre az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle AC\) oldal belsejében helyezkedik el. Az \(\displaystyle ABC\) és \(\displaystyle AB'C'\) háromszögek körülírt körei \(\displaystyle M\)-ben, az \(\displaystyle ABC'\) és \(\displaystyle AB'C\) háromszögek körülírt körei pedig \(\displaystyle K\)-ban metszik egymást másodszor. Tükrözzük \(\displaystyle M\)-et az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle AC\) egyenesre, a két tükörképen átmenő egyenest jelöljük \(\displaystyle l\)-lel.
a) Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle M\)-en átmenő, \(\displaystyle AM\)-re merőleges egyenes, az \(\displaystyle AK\) egyenes és \(\displaystyle l\) vagy egy ponton mennek át, vagy mind párhuzamosak.
b) Igazoljuk, hogy ha a három egyenes az \(\displaystyle S\) ponton megy át, akkor az \(\displaystyle SBC'\) és \(\displaystyle SCB'\) háromszögek területe egyenlő.
Javasolta: Bán-Szabó Áron (Budapest)
(7 pont)
A. 892. Adott két egész szám, \(\displaystyle k\) és \(\displaystyle d\) úgy, hogy \(\displaystyle d\) osztója a \(\displaystyle k^3-2\) számnak. Mutassuk meg, hogy ekkor léteznek olyan \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) egész számok, amelyekre
\(\displaystyle d=a^3+2b^3+4c^3-6abc. \)
Javasolta: Beke Csongor és Simon László Bence (Cambridge)
(7 pont)
A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:
- megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.
(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)