A KöMaL 2026. márciusi matematika feladatai

K-jelű feladatok A beküldési határidő 2026. április 10-én LEJÁRT.

---

K. 894. Ha \(\displaystyle \dfrac{x}{y}=\dfrac47\) és \(\displaystyle \dfrac{y}{z}=\dfrac{14}3\), akkor mennyi \(\displaystyle \dfrac{x+y}z\)?

(5 pont)

---

K. 895. Néhány különböző pozitív prímszám összege \(\displaystyle 40\). Melyek lehetnek ezek a prímek?

(5 pont)

---

K. 896. Adott egy \(\displaystyle R\) sugarú kör. A körhöz egy külső \(\displaystyle P\) pontból érintőegyeneseket rajzolunk. A két egyenes által bezárt szög \(\displaystyle 60^{\circ}\), a kör az egyik \(\displaystyle 60^{\circ}\)-os szögtartományba esik. Hány olyan egységsugarú kör rajzolható, amely a kör és a két egyenes közül pontosan kettőt érint, ha

a) \(\displaystyle R=3\);      b) \(\displaystyle R=4\)?

(5 pont)

K/C-jelű feladatok A beküldési határidő 2026. április 10-én LEJÁRT.

---

K/C. 897. Van két hatlapú dobókockánk, mindkettőn \(\displaystyle 1\)-től \(\displaystyle 6\)-ig vannak feltüntetve a számok, az egyiken a szemben lévő számok összege, míg a másikon a szemben lévő számok különbsége mindig azonos. Dobtunk mindkét dobókockával, és mindkettőn ugyanaz a szám került felülre. Mekkora lehet a nyolc oldalsó lapon lévő szám szorzatának második legkisebb és második legnagyobb értéke?

(5 pont)

---

K/C. 898. Az \(\displaystyle ABCD\) paralelogramma \(\displaystyle A\)-nál lévő szöge \(\displaystyle 60\) fokos, \(\displaystyle AD=20\) cm, \(\displaystyle AB=30\) cm. Az \(\displaystyle AB\) szakasz \(\displaystyle B\)-hez közelebbi harmadolópontja \(\displaystyle E\). Az \(\displaystyle ED\) és \(\displaystyle BC\) szakaszok felezőpontja rendre \(\displaystyle F\) és \(\displaystyle G\). A \(\displaystyle DE\) szakasz mint átmérő fölé írt kör az \(\displaystyle FG\)-t \(\displaystyle H\)-ban metszi. Határozzuk meg a \(\displaystyle DH\) szakasz hosszát.

(5 pont)

C-jelű feladatok A beküldési határidő 2026. április 10-én LEJÁRT.

---

C. 1893. Hány olyan téglatest van, amelynek minden élhossza centiméterben mérve egész szám, és a térfogata \(\displaystyle 2560~\mathrm{cm}^3\)? (Az egybevágó téglatesteket nem tekintjük különbözőnek.)

Javasolta: Ujházy Márton (Budapest)

(5 pont)

---

C. 1894. Mutassuk meg, hogy ha \(\displaystyle n\) egész, akkor az

\(\displaystyle \frac{n^5}{5}+\frac{n^3}{3}+\frac{7n}{15} \)

kifejezés értéke is egész.

skót versenyfeladat

(5 pont)

---

C. 1895. Egy kocka alakú kisbolygó teljes felszíne füves síkság, élei 1 km-esek. Az egyik csúcsban ki van kötve egy kecske egy \(\displaystyle \sqrt{2}\) km hosszú kötéllel. A bolygó felszínének hányadát tudja lelegelni a kecske?

Javasolta: Ujházy Márton (Budapest)

(5 pont)

---

C. 1896. Az \(\displaystyle ABCD\) négyzet középpontja \(\displaystyle E\). A \(\displaystyle D\) középpontú, \(\displaystyle DA\) sugarú, a négyzet belsejébe rajzolt negyedkör és az \(\displaystyle AB\) oldalra mint átmérőre, a négyzet belsejébe rajzolt félkör \(\displaystyle A\)-tól különböző közös pontja \(\displaystyle F\). Az \(\displaystyle EF\) egyenes az \(\displaystyle AB\) egyenesét az \(\displaystyle M\), a \(\displaystyle DA\) oldalra kifelé rajzolt félkört az \(\displaystyle N\) pontban metszi. Igazoljuk, hogy az \(\displaystyle F\) pont felezi az \(\displaystyle MN\) szakaszt.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

---

C. 1897. Egy szabályos \(\displaystyle n\)-szög csúcsai közül kiválasztunk három csúcsot úgy, hogy bármely három csúcs kiválasztása egyenlően valószínű. Igazoljuk, hogy ha \(\displaystyle n\) páros, akkor háromszor akkora eséllyel lesz a csúcsok alkotta háromszög tompaszögű, mint hegyesszögű.

Javasolta: Ujházy Márton (Budapest)

(5 pont)

B-jelű feladatok A beküldési határidő 2026. április 10-én LEJÁRT.

---

B. 5518. Legyenek \(\displaystyle n\) és \(\displaystyle k\) pozitív egészek. A derékszögű koordináta-rendszerben a \(\displaystyle (0;0)\), \(\displaystyle (n;0)\), \(\displaystyle (k;1)\) és \(\displaystyle (0;1)\) pontok által meghatározott rácstrapézt hányféleképpen lehet \(\displaystyle 1/2\) területű rácsháromszögekre bontani? (Egy sokszöget akkor nevezünk rácssokszögnek, ha csúcsainak mindkét koordinátája egész.)

Javasolta: Sztranyák Attila (Budapest)

(3 pont)

---

B. 5519. Viktor rajzolt egy egységnyi területű paralelogrammát. Bálint megmérte egy oldalát és egy átlóját. Legalább mekkora a két megmért szakasz összege?

Javasolta: Hujter Bálint (Budapest)

(3 pont)

---

B. 5520. Adott a síkon két kör egymáson kívül, továbbá egy \(\displaystyle d_1\) és egy \(\displaystyle d_2\) hosszúságú szakasz. Hány olyan egyenes létezik, amely az első körből \(\displaystyle d_1\), a másodikból \(\displaystyle d_2\) hosszúságú húrt metsz ki?

Javasolta: Kiss Géza (Csömör)

(4 pont)

---

B. 5521. Adott egy \(\displaystyle k\) pozitív egész. Határozzuk meg az összes olyan pozitív egész \(\displaystyle n\)-et, amelyre \(\displaystyle \dfrac{(2^kn)!}{(n!)^{2^k}}\) prímtényezős felbontásában a \(\displaystyle 2\) kitevője pontosan \(\displaystyle 2^k-1\).

Bertalan Zoltán (Békéscsaba) javaslata alapján

(5 pont)

---

B. 5522. Van-e olyan pozitív egész számokból álló \(\displaystyle a_1\), \(\displaystyle a_2\), \(\displaystyle \ldots\) sorozat és \(\displaystyle N\) pozitív egész, hogy minden \(\displaystyle n\geq N\) esetén \(\displaystyle a_n<a_{n+1}<a_1+a_2+\ldots+a_n\) és \(\displaystyle a_{n+1}\mid a_1+a_2+\ldots+a_n\)?

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(5 pont)

---

B. 5523. Legfeljebb hány különböző egész gyöke lehet az egész együtthatós \(\displaystyle p(x)=a_{12} x^{12}+a_{11} x^{11}+\ldots+a_2 x^2+a_1 x+a_0\) polinomnak, ha

\(\displaystyle a_0+a_2+a_4+a_6+a_8+a_{10}+a_{12}=0 \quad \text{és} \quad a_1+a_3+a_5+a_7+a_9+a_{11} =12? \)

Javasolta: Sztranyák Attila (Budapest)

(5 pont)

---

B. 5524. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben \(\displaystyle F\) a \(\displaystyle BC\) oldal felezőpontja. Egy egyenes az \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle AC\), \(\displaystyle AF\) szakaszokat rendre az \(\displaystyle X\), \(\displaystyle Y\), \(\displaystyle Z\) pontokban metszi. Bizonyítsuk be, hogy

\(\displaystyle AB \cdot AX+AC \cdot AY > 2AF \cdot AZ. \)

Javasolta: Szakács Ábel (Budapest)

(6 pont)

---

B. 5525. Egy \(\displaystyle T\) tetraéder \(\displaystyle e\) élére definiáljuk az \(\displaystyle r(e)\) mennyiséget mint az \(\displaystyle e\) két csúcsából induló magasságvonalak távolságának és az \(\displaystyle e\) él hosszának arányát. Adjuk össze az \(\displaystyle r(e)\) mennyiségeket \(\displaystyle T\) minden élére, így kapjuk az \(\displaystyle R(T)\) számot. Adjunk példát olyan \(\displaystyle T\) tetraéderre, amelyre \(\displaystyle R(T)>5{,}999\).

Bertalan Zoltán (Békéscsaba) ötletéből

(6 pont)

A-jelű feladatok A beküldési határidő 2026. április 10-én LEJÁRT.

---

A. 929. Legyen \(\displaystyle \mathcal{P}\) egy tízelemű ponthalmaz a síkon. Egy \(\displaystyle \mathcal{Q}\subseteq \mathcal{P}\) ponthalmazra azt mondjuk, hogy izolálható, ha létezik olyan pozitív egész sugarú zárt körlap, amely \(\displaystyle \mathcal{Q}\) pontjait tartalmazza, de \(\displaystyle \mathcal{P}\setminus\mathcal{Q}\) pontjait nem. Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle \mathcal{P}\) ötelemű részhalmazainak legalább harmada nem izolálható.

Javasolta: Bán-Szabó Áron (Palaiseau)

(7 pont)

---

A. 930. Létezik-e olyan tetraéder, amelyben a lapok beírt köreinek középpontjai egy síkba esnek?

Javasolta: Moussong Gábor (Budapest)

(7 pont)

---

A. 931. Igazoljuk, hogy ha \(\displaystyle k>10\) és \(\displaystyle n>k^4\) egész számok, akkor az

\(\displaystyle (n+1^2), (n+2^2), (n+3^2), \ldots, (n+k^2) \)

számok közül legalább egynek van \(\displaystyle k\)-nál nagyobb prímosztója.

Javasolta: Kós Géza (Budapest)

(7 pont)