A KöMaL 2026. áprilisi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Feladat típusok elrejtése/megmutatása:

K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2026. május 11-én LEJÁRT.

K. 899. Anna felírta az összes kétjegyű pozitív egész számot egyszer a táblára. Boglárka egymás után letörölte Anna számait és mindegyik helyére azt a számot írta fel, amelyet úgy kapott, hogy a második számjegyből kivonta az elsőt. Például a $\displaystyle 26$ helyett $\displaystyle 6-2=4$-et, a $\displaystyle 73$ helyett $\displaystyle 3-7=-4$-et írt. Mennyi a Boglárka által felírt számok összege?

Javasolta: Kozma Katalin Abigél (Győr)

(5 pont)

megoldás

K. 900. Egy négyzet négy sarkából egyenlő szárú derékszögű háromszögeket vágunk le úgy, hogy szabályos nyolcszöget kapjunk. Igazoljuk, hogy a szabályos nyolcszög oldalának hossza épp a négyzet átlójának és oldalának a különbsége.

Javasolta: Ujházy Márton (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika

K. 901. Zilah Alíz és anyukája, Anna ugyanazon a napon ünneplik a születésnapjukat, március 30-adikán, vagy másképp 03.30-án. Idén éppen palindromszületésnapjuk van, azaz Alíz életkorának számjegyeit megcserélve Anna életkorát kapjuk. Tudjuk, hogy Alízt édesanyja 20 éves kora és 47 éves kora között szülte. Hány éves lehetett Alíz születésekor Anna? (Az összes lehetőséget adjuk meg.)

Javasolta: Ujházy Márton (Budapest)

(5 pont)

megoldás

K/C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2026. május 11-én LEJÁRT.

K/C. 902. Van $\displaystyle 2026$ darab egységnyi élű kockánk. Ezekből összeragasztással elkészítjük a lehető legtöbb olyan építményt, amely egy $\displaystyle 3\times3\times3$-as kocka sarokkockáinak kihagyásával adódik. Mekkora az így keletkezett, sarkok nélküli építmények és a $\displaystyle 2026$ darabból megmaradt összes kiskocka felszínének aránya?

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

megoldás

K/C. 903. Egy huszonöt fős baráti társaságban $\displaystyle 20$-an tudnak bridzsezni, $\displaystyle 19$-en sakkozni és $\displaystyle 18$-an gózni.

a) Legalább;

b) legfeljebb

hányan űzik mindhárom említett sportot ebben a társaságban?

Javasolta: Kozma Katalin Abigél (Győr)

(5 pont)

megoldás

C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2026. május 11-én LEJÁRT.

C. 1898. Tekintsük egy $\displaystyle 2\times2$-es négyzetrács kilenc rácspontját. A kilenc pont közül szeretnénk néhányat megjelölni úgy, hogy semelyik három jelölt csúcs ne alkosson derékszögű háromszöget.

$\displaystyle a)$ Mutassuk meg, hogy öt pont megjelölése nem lehetséges a fenti feltétellel.

$\displaystyle b)$ Hányféle módon tudunk 4 pontot megjelölni úgy, hogy teljesüljön a fenti feltétel? (Két jelölést különbözőnek tekintünk, ha van olyan pont, ami az egyikben jelölt, a másikban nem.)

Javasolta: Ujházy Márton (Budapest)

(5 pont)

megoldás

C. 1899. A $\displaystyle 2227$ két szempontból is különleges szám. Egyrészt legközelebb ebben az évben lesz a Plútó közelebb a Naphoz, mint a Neptunusz, másrészt kiválasztható három számjegye úgy, hogy ezeket összeszorozva a kihagyott számjegynél eggyel nagyobb számot kapunk. Hány olyan négyjegyű pozitív egész szám van, amely rendelkezik ez utóbbi tulajdonsággal?

Javasolta: Czett Mátyás (Zalaegerszeg)

(5 pont)

megoldás

C. 1900. Matekórán egy $\displaystyle 30$ fős osztályban a következő játékot játsszák. A tanárnő feldobja hét különböző színű dobóoktaéderét, a gyerekek pedig a kapott számokat egy általuk választott sorrendben leírják, így egy hétjegyű számot hoznak létre. Most éppen az $\displaystyle 1$, $\displaystyle 2$, $\displaystyle 3$, $\displaystyle 4$, $\displaystyle 5$, $\displaystyle 6$, $\displaystyle 7$ számokat dobta a tanárnő. Lehetséges-e, hogy a diákok által írt számok közül az egyik valamely másiknak a többszöröse? (Megjegyzés. A játékban az nyer, aki azt a számot választotta, amelynek a többi leírt számtól való távolságainak minimuma a legnagyobb.)

Javasolta: Paulovics Zoltán (Budapest)

(5 pont)

megoldás

C. 1901. Az $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$ valós számokra

$\displaystyle |a-1|+|b-1|=|a|+|b|=|a+1|+|b+1| $

teljesül. Mennyi $\displaystyle |a-b|$ legkisebb lehetséges értéke?

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(5 pont)

megoldás

C. 1902. Az $\displaystyle ABCD$ négyzet körülírt körének kisebbik $\displaystyle AB$ ívén vegyük fel az $\displaystyle E$ belső pontot. Az $\displaystyle E$-nek a négyzet középpontjára vonatkozó tükörképe legyen $\displaystyle E'$. Az $\displaystyle E$ pontból a négyzet $\displaystyle AC$, illetve $\displaystyle BD$ átlóira bocsátott merőlegesek talppontjai legyenek $\displaystyle F$, illetve $\displaystyle G$. Hasonlóan kapjuk az $\displaystyle E'$ pont felhasználásával a $\displaystyle H$ és $\displaystyle I$ pontokat.

$\displaystyle a)$ Bizonyítsuk be, hogy az $\displaystyle FGHI$ négyszög rombusz.

$\displaystyle b)$ Határozzuk meg az $\displaystyle FGHI$ négyszög területének maximumát.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

megoldás

B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2026. május 11-én LEJÁRT.

B. 5526. Az $\displaystyle O$ középpontú $\displaystyle k$ kör $\displaystyle O$-tól különböző belső pontja $\displaystyle P$. Az $\displaystyle O$ pont tükörképe $\displaystyle P$-re $\displaystyle O'$, az $\displaystyle O'$ középpontú $\displaystyle O'P$ sugarú kör és $\displaystyle k$ egyik metszéspontja $\displaystyle X$. Az $\displaystyle XP$ egyenes $\displaystyle k$-t másodszor $\displaystyle Y$-ban metszi. Mutassuk meg, hogy $\displaystyle P$ harmadolja az $\displaystyle XY$ szakaszt.

Javasolták: az SZTE II. évf. matematika tanárszakos hallgatói

(3 pont)

megoldás

B. 5527. Az $\displaystyle ABC$ hegyesszögű háromszög oldalai $\displaystyle a$, $\displaystyle b$ és $\displaystyle c$, a beírt körének sugara $\displaystyle r$. Mutassuk meg, hogy (a B. 5495. feladatban is szereplő) $\displaystyle 2r^2={(c-a)(c-b)}$ egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha $\displaystyle a+b=3c$.

Javasolta: Kiss Géza (Csömör)

(4 pont)

megoldás

B. 5528. Mutassuk meg, hogy akárhogyan színezzük a természetes számokat $\displaystyle 100$ színnel, mindig vannak olyan egyszínű $\displaystyle a<b<c<d$ számok, amelyekre $\displaystyle {a+d=b+c}$.

Javasolta: Pálvölgyi Dömötör (Budapest)

(4 pont)

megoldás

B. 5529. A $\displaystyle 6^2$, $\displaystyle 6^3$, $\displaystyle 6^4$, $\displaystyle \ldots$, $\displaystyle 6^{2026}$ hatványok között hány olyan van, amelynek első számjegye kisebb, mint $\displaystyle 6$?

Javasolta: Sztranyák Attila (Budapest)

(3 pont)

megoldás

B. 5530. Öt különböző pozitív egész szám közül akárhogyan választunk ki néhányat, a mértani közepük mindig egész. Legalább mekkorának kell lennie közülük a legnagyobbnak?

Javasolta: Pach Péter Pál (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 5531. Az $\displaystyle ABC$ háromszög beírt körének középpontja $\displaystyle I$, az $\displaystyle ABI$, $\displaystyle BCI$ és $\displaystyle CAI$ háromszögek körülírt köreinek középpontjai $\displaystyle D$, $\displaystyle E$, illetve $\displaystyle F$. Bizonyítsuk be, hogy a $\displaystyle DEF$ háromszög területe legalább akkora, mint az $\displaystyle ABC$ háromszög területe.

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(5 pont)

megoldás

B. 5532. Egy operaháznak 8 páholya van. Egy páholybérlettel a 2027/28. szezon legfeljebb hét különböző, a vásárló által kiválasztott estéjére le lehet foglalni ugyanazt a páholyt. Minden este egy előadás van. Egy páholyt egy estére csak egyvalaki bérelhet ki, de szólhat több bérlet is ugyanabba a páholyba, amennyiben a kiválasztott esték halmaza diszjunkt. Legalább hányféle előadásból áll a repertoár, ha az operaház garantáltan össze fogja tudni állítani úgy a programot (a bérletesek napjainak ismeretében), hogy minden páholybérletes csupa különböző előadást láthasson?

Javasolta: Imolay András (Budapest)

(6 pont)

megoldás

B. 5533. Az $\displaystyle ABC$ hegyesszögű háromszögben az $\displaystyle A$-ból induló magasság talppontja $\displaystyle A_0$, a $\displaystyle B$-ből induló magasság talppontja $\displaystyle B_0$. Legyen az $\displaystyle A_0B_0C$ körön $\displaystyle X$ és $\displaystyle Y$ az a két pont, amelyre az $\displaystyle ABX$, illetve az $\displaystyle ABY$ kör érinti az $\displaystyle A_0B_0C$ kört. Mutassuk meg, hogy az $\displaystyle XY$ egyenes felezi az $\displaystyle AB$ oldalt.

Javasolta: Kós Géza (Budapest)

(6 pont)

megoldás

A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2026. május 11-én LEJÁRT.

A. 932. Az $\displaystyle ABC$ hegyesszögű háromszög magasságpontja $\displaystyle H$. A $\displaystyle D$, $\displaystyle E$ pontok rendre az $\displaystyle AC$, $\displaystyle AB$ egyeneseken vannak úgy, hogy a $\displaystyle B$, $\displaystyle C$, $\displaystyle D$, $\displaystyle E$ pontok egy körön vannak, továbbá a $\displaystyle DE$ egyenes felezi a $\displaystyle BC$ oldalt. Tegyük fel, hogy a $\displaystyle BD$, $\displaystyle CE$ egyenesek $\displaystyle M$-ben találkoznak. Mutassuk meg, hogy a $\displaystyle HM$ egyenes merőleges az $\displaystyle A$ csúcshoz tartozó szimmedián egyenesre.

Javasolta: Bán-Szabó Áron (Palaiseau)

(7 pont)

megoldás

A. 933. Az $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$ valós számok legyenek az $\displaystyle (1,4)$ intervallumból. Tekintsük az alábbi három egyenlőtlenséget:

$$\begin{align*} bx(x+y-z)+cx(x+z-y) &\geq a(2yz+x),\\ cy(y+z-x)+ay(y+x-z) &\geq b(2zx+y),\\ az(z+x-y)+bz(z+y-x) &\geq c(2xy+z), \end{align*}$$

a) Határozzuk meg $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$ függvényében, hogy legfeljebb hány egyenlőtlenség teljesülhet egyszerre olyan pozitív valós $\displaystyle x$, $\displaystyle y$, $\displaystyle z$ számokra, amelyekre $\displaystyle x+y+z=1$.

b) Adjunk meg $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$ segítségével olyan, esetbontás nélküli explicit képletet az $\displaystyle x$, $\displaystyle y$, $\displaystyle z$ számokra, amely mellett $\displaystyle x$, $\displaystyle y$, $\displaystyle z>0$ és $\displaystyle x+y+z=1$, továbbá a három egyenlőtlenség egyike sem teljesül.

Javasolta: Bán-Szabó Áron (Palaiseau)

(7 pont)

megoldás

A. 934. Jelölje $\displaystyle \mathcal{T}$ a megszámlálható, irányítatlan fagráfok halmazát. A valós számok egy $\displaystyle X$ részhalmazát baritonnak nevezzük, ha bármely nemüres részhalmazának van legkisebb eleme.

a) Igazoljuk, hogy minden bariton $\displaystyle X$ esetén létezik olyan $\displaystyle f\colon X\to \mathcal{T}$ függvény, amelyre bármely $\displaystyle y$, $\displaystyle z\in X$ esetén $\displaystyle y\leq z$ akkor és csak akkor teljesül, ha $\displaystyle f(y)$ izomorf $\displaystyle f(z)$-nek egy részgráfjával.

b) Igaz marad-e az előző állítás, ha még azt is megköveteljük, hogy minden $\displaystyle x\in X$-re $\displaystyle f(x)$ minden csúcsának véges legyen a fokszáma?

Egy $\displaystyle V$ csúcshalmazú gráf megszámlálható, ha létezik $\displaystyle V\to \mathbb{N}$ injektív leképezés.

Javasolta: Németh Márton (Budapest)

(7 pont)

megoldás, statisztika

A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:

megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?