A KöMaL 2026. májusi matematika feladatai

K-jelű feladatok A beküldési határidő 2026. június 10-én LEJÁRT.

---

K. 904. Egy faluban három utca van: a \(\displaystyle T\), a \(\displaystyle V\) és a \(\displaystyle P\) utca. A \(\displaystyle T\) utcában tartózkodó emberek mindig igazat mondanak, a \(\displaystyle V\) utcában mindig hazudnak, a \(\displaystyle P\) utcában tartózkodók beszédében pedig igaz és hamis mondatok felváltva követik egymást. Egy nap a falu tűzoltótornyában az ügyeletes megfigyelő egy füstoszlopot látott felszállni az egyik utcából. Másodpercekkel ezután megszólalt a telefon: A hívó csak ennyit mondott: „Tűz van az utcában!” Az ügyeletes tűzoltó megkérdezte: „Melyik utcában?” A hívó válasza a következő volt: „A \(\displaystyle P\) utcában.” Melyik utcába kellett menniük a tűzoltóknak?

Észt versenyfeladat

(5 pont)

megoldás

---

K. 905. Anna már nagyon várja a nyári szünidőt, ezért elhatározta, hogy a VAKÁCIÓ szó betűiből összeállítható betűsorozatokat sorban leírja a füzetébe. Hányadik helyen szerepel ezen a listán a VAKÁCIÓ szó, ha Anna végig ábécésorrendben halad?

Javasolta: Kozma Katalin Abigél (Győr)

(5 pont)

megoldás

---

K. 906. Egy téglalap egyik átlója a téglalap egyik oldalának háromszorosa, a másik oldalánál egy egységgel hosszabb. Egységben mérve mekkorák a téglalap oldalai?

Javasolta: Czett Mátyás (Zalaegerszeg)

(5 pont)

megoldás

K/C-jelű feladatok A beküldési határidő 2026. június 10-én LEJÁRT.

---

K/C. 907. A házfelújítás során a téglalap alakú kamra járólapozása a következő feladatunk. \(\displaystyle 1\times1\)-es, négyzet alakú járólapjaink vannak. A kamra oldalhosszai egész számok (ezen egységben mérve). Hány járólapot kell felhasználni, ha a szélső (tehát fal vagy ajtó menti) járólapok száma fele az összes járólapnak?

Skót versenyfeladat

(5 pont)

megoldás

---

K/C. 908. Anna egy egységsugarú korongot tett az asztalra, Boglárka pedig Anna korongja köré lerakott három egyforma korongot. Minden külső korong érinti Anna korongját és pontosan két másik külső korongot. Mekkora a sugara Boglárka korongjainak?

Javasolta: Kozma Katalin Abigél (Győr)

(5 pont)

megoldás

C-jelű feladatok A beküldési határidő 2026. június 10-én LEJÁRT.

---

C. 1903. Egy matekszakkör 17 lelkes tagja szeretne a nyári szünetben egy közös matekozásra összejönni, ezért összegyűjtik, ki mikor ér rá: mindenkitől egy, legalább két napból álló intervallumot kapnak. (Például július 3-ától 6-áig.)

Az összegyűlt adatok alapján megállapítható, hogy bármely három diák között van kettő, akik megjelöltek közös napot.

Lesz-e biztosan olyan nap, amelyen mindenki ráér?

Lesz-e biztosan két olyan nap, hogy mindenki ráér legalább az egyiken?

Javasolta: Paulovics Zoltán (Budapest)

(5 pont)

megoldás

---

C. 1904. Az \(\displaystyle ABC\) derékszögű háromszög \(\displaystyle AB\) átfogója egységnyi hosszúságú. A \(\displaystyle C\)-ből induló magasságának talppontja legyen \(\displaystyle D\), a \(\displaystyle D\)-ből az \(\displaystyle AC\)-re állított merőleges talppontja \(\displaystyle E\), az \(\displaystyle E\)-ből az \(\displaystyle AB\)-re állított merőleges talppontja pedig \(\displaystyle F\). Tudjuk, hogy \(\displaystyle F\) éppen az átfogó felezőpontja. Mekkorák a háromszög befogói?

Javasolta: Ujházy Márton (Budapest)

(5 pont)

megoldás

---

C. 1905. Legyenek \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\) különböző pozitív egészek. A következő négy állítás közül kettő igaz, kettő hamis:

(i) \(\displaystyle a<b<c<d\),
(ii) \(\displaystyle a+b=c+d\),
(iii) \(\displaystyle a^2+b^2=c^2+d^2\),
(iv) \(\displaystyle a^3-b^3=c^3-d^3\).

Adjuk meg \(\displaystyle d\) legkisebb lehetséges értékét.

Skót versenyfeladat

(5 pont)

megoldás

---

C. 1906. Egy érintőtrapéz minden oldalának hozzáírt körét megrajzoltuk. Igazoljuk, hogy az alapokhoz írt körök összterülete legalább akkora, mint a szárakhoz írt körök összterülete.

Javasolta: Ujházy Márton (Budapest)

(5 pont)

megoldás

---

C. 1907. Leírtuk nagyság szerint növekvő sorrendben a \(\displaystyle 0\) és \(\displaystyle 1\) közötti, legfeljebb \(\displaystyle 99\) nevezőjű (nem egyszerűsíthető) törteket. Melyik szám áll közvetlenül a \(\displaystyle \dfrac{11}{21}\) után?

Javasolta: Birkás György (Siófok)

(5 pont)

megoldás

B-jelű feladatok A beküldési határidő 2026. június 10-én LEJÁRT.

---

B. 5534. Oldjuk meg a valós számok halmazán az

\(\displaystyle \{x\}+\left\{\frac{1}{x}\right\}=1 \)

egyenletet, ahol \(\displaystyle \{x\}\) az \(\displaystyle x\) szám törtrészét jelenti.

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(3 pont)

megoldás

---

B. 5535. Egy nem egyenlő szárú háromszög oldalai \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), beírt körének sugara \(\displaystyle r\). Az \(\displaystyle a\) oldalhoz tartozó súlyvonal \(\displaystyle s_a\), továbbá jelölje \(\displaystyle t_a\) a beírt kör középpontjának távolságát az \(\displaystyle s_a\) egyenesétől. Mutassuk meg, hogy

\(\displaystyle 2t_as_a=|b-c|\cdot r. \)

Javasolta: Kiss Géza (Csömör)

(3 pont)

megoldás

---

B. 5536. Egy szabályos hatszög csúcsaiba hat természetes számot írtunk, amelyek összege \(\displaystyle 2027\). Egy lépésben a hat szám közül egyet kicserélünk a két szomszédos csúcsban álló szám különbségének abszolút értékével.

Elérhető-e ilyen lépésekkel, hogy mindegyik csúcsban \(\displaystyle 0\) álljon?

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(5 pont)

megoldás

---

B. 5537. A \(\displaystyle k\) körben a \(\displaystyle CD\) húr felezi az \(\displaystyle AB\) húrt. A \(\displaystyle k\)-hoz \(\displaystyle C\)-ben, illetve \(\displaystyle D\)-ben húzott érintők az \(\displaystyle AB\) egyenest \(\displaystyle X\)-ben, illetve \(\displaystyle Y\)-ban metszik. Igazoljuk, hogy \(\displaystyle {XA=YB}\).

Crux Mathematicorum

(4 pont)

megoldás

---

B. 5538. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet:

\(\displaystyle \frac{1}{x^2-5x+9}+\frac{1}{y^2-5y+9}+\frac{1}{z^2-5z+9}=\frac{1}{\sqrt{6x-9}}+\frac{1}{\sqrt{6y-9}}+\frac{1}{\sqrt{6z-9}}. \)

Javasolta: Bencze Mihály (Brassó)

(5 pont)

megoldás

---

B. 5539. Legyen \(\displaystyle n\) pozitív egész szám. Mutassuk meg, hogy

\(\displaystyle \dfrac{n!\cdot\big[\tfrac{n}{30}\big]!}{\big[\tfrac{n}{2}\big]!\cdot\big[\tfrac{n}{3}\big]!\cdot\big[\tfrac{n}{5}\big]!}\)

egész szám, és osztója az \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle n\) számok legkisebb közös többszörösének.

Pafnutyij Lvovics Csebisev (1821–1894) (Szentpétervár)

(5 pont)

megoldás

---

B. 5540. Legalább és legfeljebb mekkora lehet a \(\displaystyle K\) konvex sokszög területe, ha merőleges vetülete az \(\displaystyle x\)- és \(\displaystyle y\)-tengelyeken, valamint az \(\displaystyle x=y\) egyenesen is egy egységnyi hosszúságú szakasz?

Orosz feladat nyomán

(6 pont)

megoldás

---

B. 5541. \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) az \(\displaystyle F\) fókuszpontú parabola három pontja, ebben a sorrendben. A parabolához a \(\displaystyle B\) pontban húzott érintő az \(\displaystyle A\) pontban húzott érintőt a \(\displaystyle P\), a \(\displaystyle C\) pontban húzott érintőt pedig a \(\displaystyle Q\) pontban metszi. Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle FAP\) és \(\displaystyle FCQ\) körök \(\displaystyle F\)-től különböző metszéspontja rajta van az \(\displaystyle AC\) egyenesen.

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(6 pont)

megoldás

A-jelű feladatok A beküldési határidő 2026. június 10-én LEJÁRT.

---

A. 935. Egy bűnöző az origóból indul, és a sík egész koordinátájú pontjain mozogva menekül. Egy lépésben mindig egy szomszédos rácspontra lép úgy, hogy kétszer egymás után nem halad ugyanabba az irányba. Tudjuk, hogy az első lépését felfele teszi meg, továbbá minden rácspontot pontosan egyszer érint útja során. Egy ügynök szintén az origóból indul, viszont nem látja a bűnözőt. Szerencsére a központban tudják követni a bűnöző mozgását, de csak a következő módon tudnak kommunikálni az ügynökkel: adott egy előre meghatározott \(\displaystyle S\subseteq \mathbb{N}\) végtelen halmaz, amelyre minden \(\displaystyle s\in S\) esetén a bűnöző \(\displaystyle s\)-edik lépése után küldenek egy 1-est vagy egy 2-est az ügynöknek. Az ügynök csak akkor mozog, amikor üzenetet kap, és mindig pontosan annyit, amennyit a bűnöző az utolsó üzenet óta lépett.

Mennyi

\(\displaystyle I=\inf_{S} \left(\lim_{n\rightarrow \infty} \dfrac{|S\cap \{1,2,3,\ldots,n\}|}{n} \right) \)

értéke az olyan \(\displaystyle S\) halmazok felett, amelyekre az ügynök egyértelműen követni tudja a bűnöző mozgását?

A bűnöző mozgását korlátozó szabályokról az ügynök és a központ is tud.

Javasolta: Németh Márton (Budapest)

(7 pont)

---

A. 936. Adott egy nem egyenlő szárú, hegyesszögű \(\displaystyle ABC\) háromszög a síkon, amelynek szimmedián pontját jelöljük \(\displaystyle K\)-val, Feuerbach-körének középpontját pedig \(\displaystyle N\)-nel. Szerkesszünk körzővel és vonalzóval olyan különböző \(\displaystyle X\), \(\displaystyle X^*\), \(\displaystyle Y\), \(\displaystyle Y^*\) pontokat, amelyekre

• az \(\displaystyle XY\), \(\displaystyle X^*Y^*\) egyenesek metszéspontja \(\displaystyle K\);
• az \(\displaystyle XX^*\), \(\displaystyle YY^*\) egyenesek metszéspontja \(\displaystyle N\);
• az \(\displaystyle X\), \(\displaystyle X^*\) pontok, valamint az \(\displaystyle Y\), \(\displaystyle Y^*\) pontok izogonális konjugáltak a háromszögben.

Javasolta: Bán-Szabó Áron (Palaiseau)

(7 pont)

---

A. 937. Legyen \(\displaystyle P \in \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]\) legalább másodfokú, irreducibilis komplex polinom. Tegyük fel, hogy létezik egy \(\displaystyle M>1\) egész szám, amelyre

\(\displaystyle P(x_1,\dots,x_n)\mid P(x_1^M,\dots,x_n^M). \)

Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan nem nulla \(\displaystyle c\) komplex szám, \(\displaystyle \zeta\) komplex egységgyök, valamint olyan nemnegatív egész \(\displaystyle a_1\), \(\displaystyle \dots\), \(\displaystyle a_n\), \(\displaystyle b_1\), \(\displaystyle \dots\), \(\displaystyle b_n\) számok, amelyekre

\(\displaystyle P(x_1,\dots,x_n)=c\left(x_1^{a_1}\cdots x_n^{a_n}-\zeta\,x_1^{b_1}\cdots x_n^{b_n}\right). \)

Javasolta: Navid Safaei (Teherán)

(7 pont)