A KöMaL 2026. szeptemberi matematika feladatai

K-jelű feladatok A beküldési határidő: 2026. október 12.. 24:00 (UTC+01:00).

K. 909. A „Hatos bumm” nevű játékban a játékosok körben állnak, az első játékos kimondja, hogy \(\displaystyle 1\), ezután a soron következő játékos vagy a következő egész számot mondja, vagy a szám kimondása helyett valahány „bumm”-ot. Valahány bummot akkor kell mondani, ha a soron következő számra az alábbi feltételek valamelyike teljesül, továbbá ekkor annyi „bumm”-ot, ahány feltétel teljesül.

1. A 6 többszöröse.
2. Számjegyei között szerepel a 6.
3. Számjegyeinek összege a 6 többszöröse.
4. Számjegyeinek szorzata a 6 többszöröse.

Az egyjegyű számoknál a számjegyek összege és szorzata is maga a szám.

a) Adjunk meg két olyan számot, amely helyett „bummbumm”-ot kell mondani.

b) Egy játékosnak egy szám helyett „bummbummbumm”-ot kell mondania. Melyik feltétel lehet az az egy, amelyik nem teljesül? Vegyük végig az összes eshe­tőséget.

(5 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

K. 910. Egymás mellé rajzoltunk egy \(\displaystyle 2\), egy \(\displaystyle 3\) és egy \(\displaystyle 5\) egység oldalú négyzetet az alábbi ábra szerint.

Mekkora a \(\displaystyle BCFG\) négyszög területe?

(5 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

K. 911. Fel lehet-e bontani \(\displaystyle 99\), \(\displaystyle 100\), illetve \(\displaystyle 101\) egyenlő szárú háromszögre egy szabályos háromszöget úgy, hogy a felbontásban ne legyen minden háromszög szabályos?

(5 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

K/C-jelű feladatok A beküldési határidő: 2026. október 12.. 24:00 (UTC+01:00).

K/C. 912. Az úgynevezett hétszegmenses kijelzőkön a digitális számjegyek kis hatszögekből épülnek fel. A \(\displaystyle 0\) hat darab, az \(\displaystyle 1\) két darab, a \(\displaystyle 2\) öt darab hatszögből és így tovább (lásd az ábrát).

A régi digitális óránk az időt legfeljebb négy ilyen számjeggyel írja ki, és percenként változik a kiírás. Hány percig van egy napon belül, tehát \(\displaystyle 0{:}00\)-tól \(\displaystyle 23{:}59\)-ig olyan időpont, hogy az adott időpontban, illetve \(\displaystyle 20\) perccel később pontosan ugyanannyi hatszögből épül fel a kiírás?

(5 pont)

Ezt a feladatot csak 1–10. osztályosok küldhetik be.

K/C. 913. Legyenek \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) különböző pozitív számjegyek. Mik legyenek az \(\displaystyle \overline{ABC}\), \(\displaystyle \overline{BCA}\), \(\displaystyle \overline{CAB}\) háromjegyű számok, hogy azok legnagyobb közös osztója a lehető legnagyobb legyen?

Javasolta: Frankl Péter (Tokió)

(5 pont)

Ezt a feladatot csak 1–10. osztályosok küldhetik be.

C-jelű feladatok A beküldési határidő: 2026. október 12.. 24:00 (UTC+01:00).

C. 1908. A \(\displaystyle 2026\) olyan négyjegyű, pozitív egész szám, amelynek számjegyei mind párosak, és pontosan kettő egyforma köztük. Hány ilyen négyjegyű, pozitív egész szám van összesen?

Kozma Katalin Abigél) (Győr)

(5 pont)

C. 1909. Az \(\displaystyle ABC\) szabályos háromszög köré írt kör \(\displaystyle A\) pontot nem tartalmazó \(\displaystyle BC\) ívének felezőpontja \(\displaystyle D\), a \(\displaystyle CA\) szakasz felezőpontja \(\displaystyle E\), a \(\displaystyle BC\) szakasz felezőpontja pedig \(\displaystyle F\).

a) Határozzuk meg az \(\displaystyle EBD\sphericalangle\) nagyságát.

b) Legyen az \(\displaystyle F\)-nek az \(\displaystyle E\)-re vonatkozó tükörképe \(\displaystyle F'\). Igazoljuk, hogy az \(\displaystyle F'\) középpontú, \(\displaystyle F'C\) sugarú kör áthalad az \(\displaystyle AB\) oldal felezőpontján.

görög versenyfeladat alapján

(5 pont)

C. 1910. Bogi nagyon szeret kavicsokkal játszani, amelyeket drágaköveknek nevez. Jelenleg \(\displaystyle 4052\) drágaköve van, amelyeket az \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle 4052\) felirattal látott el. A drágaköveit egy piros és egy kék dobozban úgy akarja elhelyezni, hogy minden \(\displaystyle k=1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle 2026\) esetén a \(\displaystyle k\) és a \(\displaystyle 2k\) feliratú kövek különböző dobozban legyenek. Hány lehetősége van Boginak a drágakövek elhelyezésére?

német versenyfeladat

(5 pont)

C. 1911. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle BC\) oldalának felezőpontja \(\displaystyle F\). Az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle AC\) oldalakra mint átfogóra kifelé megszerkesztjük a \(\displaystyle BAD\) és \(\displaystyle ACE\) egyenlő szárú derékszögű háromszögeket. Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle EDF\) egyenlő szárú derékszögű háromszög.

ír versenyfeladat

(5 pont)

Ezt a feladatot csak 11–12. osztályosok küldhetik be.

C. 1912. Legyenek \(\displaystyle a_1\), \(\displaystyle a_2\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle a_{10}\) pozitív, nem feltétlenül különböző egész számok, amelyek összege \(\displaystyle 95\). Mutassuk meg, hogy

\(\displaystyle a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_5^2+a_6^2+a_7^2+a_8^2+a_9^2+a_{10}^2 \geq 905. \)

Mikor teljesül az egyenlőség?

skót versenyfeladat

(5 pont)

Ezt a feladatot csak 11–12. osztályosok küldhetik be.

B-jelű feladatok A beküldési határidő: 2026. október 12.. 24:00 (UTC+01:00).

B. 5542. Egy \(\displaystyle 13\) fős társaság szeretne eljutni egy \(\displaystyle 50~\text{km}\)-re fekvő városba. Sajnos tömegközlekedés nincs a környéken, de gyalogolhatnak \(\displaystyle 5~\text{km}/\text{h}\) sebességgel, és van egy ötszemélyes autójuk, amely \(\displaystyle 80~\text{km}/\text{h}\) sebességgel tud haladni. El tudnak-e jutni mindannyian a másik városba két és fél óra alatt?

Javasolta: Hujter Bálint (Budapest)

(3 pont)

B. 5543. Egy téglalap alakú biliárdasztal szemben levő oldalai \(\displaystyle e\) és \(\displaystyle f\), a belsejében két pont \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\). Bizonyítsuk be, hogy ha egy pontszerű biliárdgolyó az \(\displaystyle A\) pontból a \(\displaystyle B\) pontba úgy jut el, hogy kétszer pattan vissza az \(\displaystyle e\) és kétszer az \(\displaystyle f\) oldalról (és a másik két oldalon nem pattan), akkor útja során áthalad az \(\displaystyle AB\) szakasz felezőpontján.

Javasolta: Gyenes Zoltán és Hujter Bálint (Budapest)

(3 pont)

B. 5544. Egy méhecske táncol az ábrán látható sejteken. Ha az egyik méhsejtből a másikba lép, akkor vagy folytatja az útját tovább egyenesen, vagy \(\displaystyle 120^\circ\)-ot fordulva folytatja tovább, amint azt az ábra is mutatja. Mely mezőkről kezdve tudja végigjárni mind a tizenkilenc sejtet úgy, hogy egyiken sem halad át többször?

Javasolta: Kocsis Szilveszter (Budapest)

(4 pont)

B. 5545. Egy hegyesszögű háromszög oldalai \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\). A háromszög izogonális pontját a csúcsokkal összekötő szakaszok hosszai \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) és \(\displaystyle z\). Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle a^2\), \(\displaystyle b^2\) és \(\displaystyle c^2\) pontosan akkor alkot számtani sorozatot (valamilyen sorrendben), ha \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) és \(\displaystyle z\) számtani sorozatot alkot (valamilyen sorrendben).

Javasolta: Pázmándi József és Lenger Dániel (Budapest)

(4 pont)

B. 5546. Az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) pozitív egész számokra \(\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\) és \(\displaystyle \frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}\) is egész. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle a=b=c\).

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(5 pont)

B. 5547. Bizonyítsuk be, hogy ha egy nem szabályos háromszögben \(\displaystyle {b^2+c^2=2a^2}\), akkor az \(\displaystyle A\) csúcs vetülete felezi a \(\displaystyle BC\) oldal vetületét az Euler-egyenesen.

Javasolta: Keresztély Zsófia (Cambridge, Massachusetts)

(5 pont)

B. 5548. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet:

\(\displaystyle \left(\frac{x}{\sqrt{2y-3}}\right)^3+\left(\frac{y}{\sqrt{2x-3}}\right)^3=6\sqrt{3}. \)

Javasolta: Bencze Mihály (Brassó)

(6 pont)

B. 5549. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög oldalai különböző hosszúságúak. A háromszög körülírt körének középpontja legyen \(\displaystyle O\). Az \(\displaystyle AO\) átmérőjű kör és a \(\displaystyle BCO\) kör \(\displaystyle O\)-tól különböző metszéspontja legyen \(\displaystyle P\). Hasonlóan a \(\displaystyle BO\) átmérőjű kör és a \(\displaystyle CAO\) kör második metszéspontja legyen \(\displaystyle Q\), a \(\displaystyle CO\) átmérőjű kör és az \(\displaystyle ABO\) kör második metszéspontja pedig \(\displaystyle R\). Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\), \(\displaystyle R\) és \(\displaystyle O\) egy körön vannak.

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(6 pont)

A-jelű feladatok A beküldési határidő: 2026. október 12.. 24:00 (UTC+01:00).

A. 938. Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle 10\)-es számrendszerben felírt

\(\displaystyle 1\underbrace{000\ldots00}_{2026}\underbrace{999\ldots99}_{2026} \)

szám minden osztója \(\displaystyle 1\)-esre vagy \(\displaystyle 9\)-esre végződik (szintén \(\displaystyle 10\)-es számrendszerben felírva).

Javasolta: Kós Géza (Budapest)

(7 pont)

A. 939. A hegyesszögű, nem egyenlő szárú \(\displaystyle ABC\) háromszögben az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) csúcsokból induló magasságok talppontjai rendre \(\displaystyle A_1\), \(\displaystyle B_1\), illetve \(\displaystyle C_1\), a belső szögfelezők metszéspontjai a szemközti oldalakkal rendre \(\displaystyle A_2\), \(\displaystyle B_2\), illetve \(\displaystyle C_2\). Az \(\displaystyle A_1B_1\) és \(\displaystyle A_2C_2\) egyenesek metszéspontja legyen \(\displaystyle X_1\), az \(\displaystyle A_1C_1\) és \(\displaystyle A_2B_2\) egyenesek metszéspontja pedig \(\displaystyle X_2\). Hasonlóan, legyen a \(\displaystyle B_1C_1\) és \(\displaystyle B_2A_2\) egyenesek metszéspontja \(\displaystyle Y_1\), a \(\displaystyle B_1A_1\) és \(\displaystyle B_2C_2\) egyenesek metszéspontja \(\displaystyle Y_2\), a \(\displaystyle C_1A_1\) és \(\displaystyle C_2B_2\) egyenesek metszéspontja \(\displaystyle Z_1\), és végül a \(\displaystyle C_1B_1\) és \(\displaystyle C_2A_2\) egyenesek metszéspontja \(\displaystyle Z_2\). Tegyük fel, hogy ezek a pontok valóban léteznek és különbözőek.

Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle X_1\), \(\displaystyle X_2\) pontok, a \(\displaystyle B\), \(\displaystyle Y_1\), \(\displaystyle Y_2\), illetve a \(\displaystyle C\), \(\displaystyle Z_1\), \(\displaystyle Z_2\) pontok egy-egy egyenesen vannak, és ez a három egyenes egy pontban találkozik.

Javasolta: Török Ágoston(London)

(7 pont)

A. 940. Legyen \(\displaystyle p\) prímszám és \(\displaystyle 1\le k\le p\) egész szám. Tegyük fel, hogy \(\displaystyle f(x)\) olyan egész együtthatós polinom, amelynek az értéke minden egész helyen \(\displaystyle 0\) vagy \(\displaystyle 1\) maradékot ad \(\displaystyle p^k\)-val osztva, és mindkét eset előfordul. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle f\) foka legalább \(\displaystyle k(p-1)\).

Javasolta: Kós Géza (Budapest)

(7 pont)