Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A KöMaL 2005. áprilisi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Kedves Versenyzőnk!

A járvány miatt a saját és családtagjaid egészsége érdekében is kérjük, hogy minden megoldásodat az Elektronikus Munkafüzetben küldd be. Postára ne menj. Bizonytalan, hogy javítóink mikor tudják átvenni a papíron küldött megoldásokat, emiatt a postán küldött dolgozatok javítása elhúzódik — beleértve a februári feladatokra érkezett megoldásokat is.

Ha eddig nem tetted, tanuld meg a TeX rendszer használatát, amellyel honlapunkon közvetlenül megszerkesztheted és beküldheted a megoldásodat, vagy pedig használj szöveg- és képletszerkesztőt és a végeredményt — lehetőleg PDF-ben elmentve — töltsd fel.

A rendkívüli helyzetre tekintettel szkennelt vagy fényképezett kézírást is elfogadunk. Ügyelj arra, hogy a kép jól olvasható legyen, és a felbontás ne legyen se túl nagy, se túl alacsony. Ha fényképezel, érdemes több képet készíteni szórt (természetes) fénynél, és a legjobban sikerült képet használni. A képet fordítsd álló helyzetbe, a szélét vágd körbe, hogy csak a megoldás maradjon a képen, végül méretezd át. Egy A4-es lapot kb. 1400x2000 méretű JPEG képként érdemes feltölteni, így a fájl mérete sem lesz 1 megabájtnál nagyobb. Ezután töltsd fel a megoldásod.

Fényképek feldolgozására sokféle képmanipuláló programot és telefonos applikációt használhatsz (GIMP, Google Photo, Snapseed stb.).


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2005. május 17-én LEJÁRT.


C. 805. Adjuk meg azokat az egész számokból álló számhármasokat, amelyek szorzata négyszer akkora, mint az összegük, és egyikük kétszer akkora, mint a másik kettő összege.

Javasolta: Koncz Levente, Budapest

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 806. Adjuk meg az összes olyan 7-tel osztható pozitív egész számot, amelynek tízes számrendszerbeli alakja 5-re végződik és a többi jegye pedig 1.

Javasolta: Kiss Géza, Budapest

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 807. Egy négyszög két szomszédos oldalának hossza 2, illetve 1 egység, közrezárt szögük 60o. A négyszög húr- és érintőnégyszög is egyben. Mekkora a négyszög másik két oldala?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 808. Oldjuk meg a {3x}2+{x}2=1 egyenletet.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 809. Az egységnyi élű ABCDEFGH kocka AE élének felezőpontja P, a BCGF lap középpontja R.

a) Mekkora területű síkidomban metszi a kockát a P, B, R pontokon átmenő sík?

b) A fenti sík két testre vágja a kockát. Mennyi a részek térfogatának az aránya?

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2005. május 17-én LEJÁRT.


B. 3812. Adjuk meg az összes olyan pozitív egész n számot, amelyre

a) 7399|n!, de 7^{400}\nmid n!, illetve

b) 7400|n!, de 7^{401}\nmid n!.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 3813. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges ABC háromszög belsejében pontosan egy olyan M pont van, amelyre

MA+BC=MB+AC=MC+AB.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 3814. Az n és k pozitív egészek, amelyekre teljesül, hogy 2kn|k2+n2-k. Bizonyítsuk be, hogy k négyzetszám.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 3815. Egy sík metszi a térbeli, zárt P1P2...PnP1 töröttvonal mindegyik szakaszát, a PiPi+1 szakaszt annak belső Qi pontjában. Igazoljuk, hogy


\frac{P_1Q_1}{Q_1P_2}\cdot\frac{P_2Q_2}{Q_2P_3}\cdot\ldots\cdot
\frac{P_{n-1}Q_{n-1}}{Q_{n-1}P_n}\cdot\frac{P_nQ_n}{Q_nP_1}=1.

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 3816. Az ABC háromszög beírt körének középpontja O. Az AO, BO, CO szakaszok O-n túli meghosszabbításai a körülírt kört rendre az A1, B1, C1 pontokban metszik. Mutassuk meg, hogy az A1B1C1 háromszög területe

\frac{R^2}{2}(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma),

ahol R a körülírt kör sugara, \alpha, \beta, \gamma pedig az eredeti ABC háromszög szögei.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 3817. Az an sorozatot a következőképpen értelmezzük:

a1\ne2, a_2=\frac{a_1}{a_1-2}, a_{n+1}=\frac{na_n^2}{na_n^2-(n+1)a_n+(n+1)}, ha n\ge2.

Bizonyítsuk be, hogy minden n-re teljesül az

a1+2a2+3a3+...+ nan=a1.a2.a3.....an

egyenlőség.

Javasolta: Kovács Béla, Szatmárnémeti

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 3818. Egy tetraédernek van egy olyan csúcsa, amelyből kiinduló három él mindegyike egység hosszúságú, és közülük bármely kettő 45 fokos szöget zár be egymással. Számítsuk ki a tetraéder térfogatát.

Cserti József (Budapest) javaslata alapján

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 3819. Mutassuk meg, hogy ha A1B1, A2B2 és A3B3 egy kör három párhuzamos húrja, akkor az A1, A2, illetve A3 pontból rendre a B2B3, B3B1 és B1B2 egyenesre állított merőlegesek egy ponton mennek át.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 3820. Oldjuk meg a következő egyenletet:

(5x-2x-2)2+ 2lg  (5x+2x-2)=x.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 3821. Az a, b, c pozitív számokra a2+b2+c2=1. Határozzuk meg az

S=\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}

összeg legkisebb lehetséges értékét.

(5 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2005. május 17-én LEJÁRT.


A. 371. Az a,b,c \ge0 számokra teljesül, hogy a+b\lec+1, b+c \lea+1, c+a\leb+1. Mutassuk meg, hogy a2+b2+c2\le2abc+1.

(5 pont)

statisztika


A. 372. Az n oldalú szabályos háromszöget felosztjuk egység oldalú szabályos háromszögekre a szokásos módon. Legfeljebb hány bástyát lehet letenni az így kapott rács rácspontjaiba úgy, hogy semelyik kettő ne támadja egymást? A bástyák a tábla mezőin az oldalakkal párhuzamosan összesen hat irányban mozoghatnak.

Javasolta: Egri Attila (Hajdúszoboszló)

(5 pont)

statisztika


A. 373. Az A1A2A3A4 négyszög belsejében adott egy P pont úgy, hogy nincs rajta egyik átlón sem. Legyen Bi (i=1,2,3,4) az AiP szakasz egy belső pontja. Jelölje Cij az AiBj és AjBi egyenesek metszéspontját (1\lei<j \le4). Bizonyítsuk be, hogy a C12C34, C13C24, C14C23 szakaszok egy ponton mennek át.

(5 pont)

statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)