Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A KöMaL 2005. októberi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Feladat típusok elrejtése/megmutatása:

K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2005. november 10-én LEJÁRT.

K. 49. Egy gombfoci-bajnokságon 15 csapat vett részt, és minden csapat minden csapattal egyszer mérkőzött meg. Győzelemért 3, döntetlenért 2, vereségért 1 pont járt. A verseny végén minden csapatnak más pontszáma volt; az utolsó helyezett 21 pontot szerzett. Bizonyítsuk be, hogy a legtöbb pontot szerzett csapat legalább egyszer döntetlenül mérkőzött.

Javasolta: Szalkai Balázs, Veszprém

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 50. Az ABCD négyszögben AB=AC=DB, továbbá az átlók merőlegesek egymásra. Határozzuk meg az ACB szög és az ADB szög összegét.

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 51. Hány olyan legalább két elemű számhalmaz van, amely egymást követő pozitív egész számokból áll, és amelyben az elemek összege 100?

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 52. Egy város parkjában az ábrán látható sétaútrendszert akarják megépíteni. Összesen hány méter utat kell építeniük, ha az ábrán jelölt útszakaszok hossza 60, illetve 30 méter?

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 53. Hány olyan ababab alakú hatjegyű szám van, amely hat különböző prímszám szorzata?

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 54. Egy nyomda olyan társasjátékot gyárt, amelyhez kétféle figurára van szükség: kutyára és macskára; ezeket kartonpapírból kivágva készítik. Az egyes készletekben a macskák és kutyák aránya 5:3. Hogy a hulladékot minimalizálják, kétféle kartont nyomtatnak: az egyik fajta lapon 28 kutya és 28 macska van, a másikon pedig 42 macska. Milyen arányban nyomtassák a kétféle kartont, hogy a szétvágás után éppen megfelelő legyen a kétféle figura aránya?

(6 pont)

megoldás, statisztika

C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2005. november 15-én LEJÁRT.

C. 820. Legyenek 0 $\le$ a,b,c,d $\le$ 2005 egész számok. Mi a valószínűsége annak, hogy ab+cd páros szám?

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 821. Az egységnyi oldalú ABCD négyzetet elforgatjuk a C csúcsa körül 90^o-kal. Mekkora területet súrol az AB oldal?

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 822. Legyenek x és y nem negatív valós számok. Bizonyítsuk be, hogy

$\sqrt{\frac{x}2}+\sqrt{\frac y2}\le \sqrt{x+y}.$

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 823. Egy áruház a második születésnapján akciós napot tartott. Az 50 000 Ft felett vásárlók kétszeri árengedményben részesültek. Az árengedmények százalékban kifejezve 10-nél kisebb pozitív egész számok voltak. A 69 000 Ft-os televíziót 60 306 Ft-ért lehetett megvásárolni. Hány százalékosak voltak az egyes árengedmények?

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 824. Egy kocka alaplapjának körülírt köre és fedőlapjának beírt köre egy csonkakúp alap-, illetve fedőköre. Hogyan aránylik a csonkakúp térfogata a kocka térfogatához?

(5 pont)

megoldás, statisztika

B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2005. november 15-én LEJÁRT.

B. 3842. Van öt, egyenként 15 literes edényünk, bennük rendre 1, 2, 3, 4, 5 liter víz. Egy lépésben egy kiszemelt edény tartalmát megduplázhatjuk egy másik edényben lévő víz egy részének átöntésével. Legfeljebb mennyi víz gyűjthető így össze egyetlen edényben?

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 3843. Megadható-e a síkban négy különböző pont úgy, hogy közülük bármelyik kettőhöz létezzen rajtuk átmenő kör, amelyhez a másik két pontból egyenlő hosszúságú érintők húzhatók?

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 3844. Egy derékszögű háromszög befogóinak hossza a és b, átfogója c. A b befogóhoz írt kör (ami kívülről érinti a befogót és a másik két oldal meghosszabbítását) sugara $\varrho$ _b. Igazoljuk, hogy b+c=a+2 $\varrho$ _b.

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 3845. Szerkesszük meg az ABC háromszöget, ha adott az AB és AC oldalak hossza, valamint az A csúcsnak a BC oldal C-hez közelebbi harmadolópontjától mért távolsága.

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 3846. Oldjuk meg a

$\root4\of{2 - x} + \root4\of{15 + x} = 3$

egyenletet.

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 3847. Adott egy szögtartomány és a belsejében egy pont. Húzzunk a ponton át olyan egyenest, amely a szögtartományból a legkisebb területű háromszöget vágja le.

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 3848. A 100-oldalú $\boldsymbol{K}$ konvex sokszög az 1 méter oldalú négyzet belsejében fekszik. Mutassuk meg, hogy $\boldsymbol{K}$ csúcsai közül kiválasztható három úgy, hogy az általuk meghatározott háromszög területe kisebb, mint 8 cm².

(XIV. NMMV feladata 12. évfolyamosoknak)

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 3849. Egy szabályos érmét addig dobálunk, amíg legalább egyszer kapunk fejet is és írást is. Mennyi a dobások számának a várható értéke?

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 3850. Milyen határok közt változik egy egységnyi élű szabályos tetraéder téglalapmetszeteinek területe és kerülete?

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 3851. Tekintsük az $f\colon x \mapsto \frac{1}{x}$ , $g\colon x \mapsto 1-\frac{1}{x}$ függvények véges sok példányának kompozíciójaként előállítható függvényeket; például

$f\circ g\circ f\colon x \overset{f}\mapsto \frac{1}{x} \overset{g}\mapsto 1- \dfrac{1}{\frac{1}{x}} = 1- x \overset{f}\mapsto \frac{1}{1-x}.$

Előállítható-e így az x $\mapsto$ x+1 függvény (az értelmezési tartományából esetleg véges sok helyet elhagyva)?

Csikvári Péter

(5 pont)

megoldás, statisztika

A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2005. november 15-én LEJÁRT.

A. 380. A K konvex n-szög egy egységnégyzet belsejében fekszik. Mutassuk meg, hogy kiválasztható három csúcsa úgy, hogy az általuk meghatározott háromszög területe kisebb, mint $\frac{80}{n^3}$ egység.

(5 pont)

megoldás, statisztika

A. 381. Egy n oldalú ,,dobókockát'' addig dobálunk, amíg mind az n lehetséges eredményt legalább egyszer megkapjuk. Mennyi a dobások számának várható értéke?

Kollman Anikó, Budapest

(5 pont)

megoldás, statisztika

A. 382. Adottak a diszjunkt S és T halmazok, valamint az S elemein a *, a T elemein a o kétváltozós művelet (tehát a,b $\in$ S, illetve c,d $\in$ T esetén a*b $\in$ S és cod $\in$ T). Mindkét művelet asszociatív; más szóval: (S,*) és (T,o) félcsoportok.

Azt is tudjuk, hogy tetszőleges t $\in$ T-hez léteznek olyan u,v $\in$ T elemek, amelyekre uot=tov=t.

Legyen $f\colon S\to T$ egy tetszőleges leképezés. Definiáljuk az S $\cup$ T halmazon a $\otimes$ műveletet a következőképpen:

$a\otimes b = \cases{ a * b & \text{ha \ } a,b\in S, \cr f(a) \circ b & \text{ha \ } a\in S,\ b \in T, \cr a \circ f(b) & \text{ha \ } a\in T,\ b\in S, \cr a \circ b & \text{ha \ } a,b\in T. \cr }$

Mutassuk meg, hogy a $\otimes$ művelet akkor és csak akkor asszociatív, ha f homomorfizmus, azaz tetszőleges a,b $\in$ S esetén f(a*b)=f(a)of(b).

Cseh versenyfeladat

(5 pont)

megoldás, statisztika

A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:

megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)