Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A KöMaL 2005. novemberi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Feladat típusok elrejtése/megmutatása:

K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2005. december 12-én LEJÁRT.

K. 55. Bociföldön két tejkimérés működik, mindkettőben lehet többek között habos kakaót is venni. Mindkét tejkimérésben ugyanolyan magas, henger alakú bögrébe mérik a habos kakaót. (A habos kakaó térfogatának fele folyékony kakaó, másik fele a kakaóhab.) Kis idő múlva a hab a térfogatának negyedrészével megegyező térfogatú kakaóvá alakul át. A Víg Tehénpásztorban 6 cm sugarú bögrékben adják a kakaót, és 12 petákot kérnek érte. A Jókedvű Csordásban 5 cm sugarú bögrék vannak, de ha az első töltés habja leülepedett, akkor még egyszer teletöltik a bögrét. Itt az ár 11 peták. Melyik tejkimérésben olcsóbb a kakaó?

XXIV. Öveges József Emlékverseny feladata alapján

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 56. Az eszkimók orrdörgöléssel köszöntik egymást, a sarkkutatókat pacsival. A sarkkutatók az eszkimóknak hellót mondanak, csakúgy, mint egymásnak. Egy összejövetelen 415 helló hangzott el. Hány orrdörgölés és hány pacsi volt? (Mindenki mindenkit üdvözölt a megfelelő módon.)

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 57. Egy cég emblémát terveztet magának. A tervező az alábbi, kétféle szabályos hatszög segítségével készült vázlatot rajzolta, majd ennek segítségével készítette a végleges javaslatot. Mekkora a szürke és a vonalkázott területek aránya (a második ábrán)?

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 58. Hány olyan osztója van a $857\;304\;000$ -nek, amely négyzetszám?

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 59. Sanyiék a kör alakú asztalukat betolták a sarokba, felülnézetben látjuk az ábrán. Az asztallap átmérője 170 cm. Az asztallap szélének egy pontja az egyik faltól 10 cm-re van. Hány cm-re lehet ez a pont a másik faltól?

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 60. Az ábrán látható építményt úgy kaptuk, hogy egyforma méretű kockákat ragasztottunk össze. Két kocka összeragasztásához szükséges, hogy két lapjuk valamely mértékben átfedje egymást (tehát ha csak élben találkoznak, az nem elég). Határozzuk meg, hogy legalább hány kockából készíthető el az építmény.

(6 pont)

megoldás, statisztika

C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2005. december 15-én LEJÁRT.

C. 825. Bizonyítsuk be, hogy bármely négy egymást követő egész szám szorzata felírható két egymást követő páros szám szorzataként.

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 826. Oldjuk meg a következő egyenletet:

$\frac{3x^3}{x^3-1}- \frac{x}{x-1}=2.$

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 827. Repülőn utazunk. A szemünktől 20 cm-re lévő ablakon kinézve egy-egy hajót pillantunk meg a 25 cm×40 cm-es ablak alsó sarkainak irányában. Tudjuk, hogy a repülő 10,3 km magasan halad, a mi szemmagasságunk pedig az ablak vízszintes felezővonalában van. Milyen távol van egymástól a két hajó?

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 828. Mekkora az x+y=2005, $\frac{x}{2005}+ \frac{y}{2006}=1$ , $\frac{x}{2006}+ \frac{y}{2005}=1$ egyenletű egyenesek által közrezárt háromszög területe?

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 829. Az ötös lottón 2005. szeptember 10-én a következő számokat húzták ki: 4, 16, 22, 48, 88. Mind az öt szám páros, közülük pontosan négy osztható 4-gyel, három 8-cal, kettő pedig 16-tal. Hányféleképpen lehet az 1-től 90-ig terjedő egész számok közül öt különböző ilyen tulajdonságú számot kiválasztani?

(5 pont)

megoldás, statisztika

B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2005. december 15-én LEJÁRT.

B. 3852. Az a, b egészekre $2005 \mid a^3+b^3$ és $2005 \mid a^4+b^4$ . Bizonyítsuk be, hogy $2005 \mid a^5+b^5$ .

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 3853. Szerkesszünk adott háromszög területét felező, adott irányú egyenest.

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 3854. Van-e olyan nem szabályos háromszög, amelynek súlyvonalaiból, mint oldalakból hozzá hasonló háromszög szerkeszthető?

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 3855. Legalább hány hegyesszögű háromszöget kell hézagmentesen és átfedés nélkül összeilleszteni, hogy egy 120^o-os szárszögű egyenlő szárú háromszöget kapjunk?

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 3856. Mutassuk meg, hogy ha a²+b²=a²b², és |a| $\ne$ 1, |b| $\ne$ 1, akkor

$\frac{a^7}{{(1-a)}^2}- \frac{a^7}{{(1+a)}^2}= \frac{b^7}{{(1-b)}^2}- \frac{b^7}{{(1+b)}^2}.$

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 3857. Egy trapéz egyik alapja és két szára egységnyi. Válasszuk meg a trapéz másik alapját úgy, hogy területe a lehető legnagyobb legyen.

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 3858. Egy főútvonalon végighaladva nyolc helyen van közlekedési lámpa. Annak valószínűsége, hogy egy lámpa éppen pirosat jelez, amikor odaérünk, 0,4. Mekkora annak a valószínűsége, hogy nem találkozunk közvetlenül egymás után két tilos jelzéssel?

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 3859. Keressük meg az összes olyan 1-nél nagyobb n természetes számot, amelyre az 1,2,3,...,n számoknak létezik olyan a₁,a₂,...,a_n sorrendje, hogy az a₁, a₁a₂, a₁a₂a₃, ..., a₁a₂^...a_n szorzatok mind különböző maradékot adnak n-nel osztva.

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 3860. Egy ellipszis alakú asztallap ,,hossza'' 160 cm, ,,szélessége'' 1 m. Le lehet-e takarni az asztallapot teljes egészében egy téglalap alakú, 140 cm×130 cm-es terítővel?

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 3861. Igazoljuk, hogy az

x⁷-14x⁶+21x⁵-70x⁴+35x³-42x²+7x-2=0

egyenlet egyetlen valós gyöke $x=2+\root7\of{3} +\root7\of{9} +\dots +\root7\of{3^6}$ .

Kovács Béla, Szatmárnémeti

(5 pont)

megoldás, statisztika

A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2005. december 15-én LEJÁRT.

A. 383. A k kör AB átmérője merőleges az $\ell$ egyenesre, amely nem megy át sem az A-n, sem a B-n. Az $\ell$ egy k-n kívüli pontja legyen C, és jelölje D az AC egyenes és a kör másik metszéspontját. Húzzuk meg az egyik érintőt C-ből k-hoz; az érintési pontot jelöljük E-vel. A BE és $\ell$ egyenesek metszéspontja legyen F, végül az AF szakasz és k metszéspontja legyen G. Mutassuk meg, hogy a DF egyenes átmegy a G pont AB-re való tükörképén.

Német olimpiai javaslat alapján

(5 pont)

megoldás, statisztika

A. 384. Az a₀,a₁,...,a_n és b₀,b₁,...,b_k nemnegatív valós számokra teljesül, hogy a₀=b₀=1 és

(a₀+a₁x+...+a_nxⁿ)(b₀+b₁x+...+b_kx^k)=1+x+...+x^n+k.

Igazoljuk, hogy az a_i és b_i számok mindegyike 0 vagy 1.

IMC 2001, Prága

(5 pont)

megoldás, statisztika

A. 385. Legyen $\alpha$ pozitív valós szám. Határozzuk meg az összes, nemnegatív számokból álló a₁,a₂,... sorozatot, amelynek összege, $S= \sum_{k=1}^\infty a_k$ véges és tetszőleges n pozitív egész esetén

$\sum_{k=1}^\infty a_{kn} = \frac{S}{n^\alpha}.$

Német versenyfeladat

(5 pont)

megoldás, statisztika

A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:

megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)