Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A KöMaL 2011. májusi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Kedves Versenyzőnk!

A járvány miatt a saját és családtagjaid egészsége érdekében is kérjük, hogy minden megoldásodat az Elektronikus Munkafüzetben küldd be. Postára ne menj. Bizonytalan, hogy javítóink mikor tudják átvenni a papíron küldött megoldásokat, emiatt a postán küldött dolgozatok javítása elhúzódik — beleértve a februári feladatokra érkezett megoldásokat is.

Ha eddig nem tetted, tanuld meg a TeX rendszer használatát, amellyel honlapunkon közvetlenül megszerkesztheted és beküldheted a megoldásodat, vagy pedig használj szöveg- és képletszerkesztőt és a végeredményt — lehetőleg PDF-ben elmentve — töltsd fel.

A rendkívüli helyzetre tekintettel szkennelt vagy fényképezett kézírást is elfogadunk. Ügyelj arra, hogy a kép jól olvasható legyen, és a felbontás ne legyen se túl nagy, se túl alacsony. Ha fényképezel, érdemes több képet készíteni szórt (természetes) fénynél, és a legjobban sikerült képet használni. A képet fordítsd álló helyzetbe, a szélét vágd körbe, hogy csak a megoldás maradjon a képen, végül méretezd át. Egy A4-es lapot kb. 1400x2000 méretű JPEG képként érdemes feltölteni, így a fájl mérete sem lesz 1 megabájtnál nagyobb. Ezután töltsd fel a megoldásod.

Fényképek feldolgozására sokféle képmanipuláló programot és telefonos applikációt használhatsz (GIMP, Google Photo, Snapseed stb.).


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2011. június 10-én LEJÁRT.


C. 1080. Egy kétmotoros kormányozható léghajó adott benzinkészlettel rendelkezik. Mindkét motort üzembe helyezve, 88 kilométert tesz meg egy óra alatt. Ha csak az első motort használnák, a benzinkészlet 25 órával tovább tartana, de így csak 45 kilométert tennének meg óránként. Ha csak a második motort használnák, a benzinkészlet 16 órával tartana tovább, mint két motorral, és így 72 kilométert tennének meg óránként. Melyik módszerrel jut a legmesszebbre a léghajó?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1081. Két szabályos sokszöget nevezzünk összetartozónak, ha az egyik belső szögének a kétszerese egyenlő a másik külső szögének a háromszorosával. Határozzuk meg az összetartozó szabályos sokszögpárokat.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1082. Egy hatjegyű szám első számjegyét áthelyezzük a szám végére, majd az így kapott hatjegyű szám első számjegyét ismét áthelyezzük a szám végére. Így egy olyan hatjegyű számot kapunk, amely az előbbinek háromszorosa, az eredetinek pedig \frac 35-szöröse. Melyik az eredeti hatjegyű szám?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1083. Egy háromszög egyik oldalának hossza 8 cm, a rajta fekvő egyik szög 60o-os, a háromszögbe írható kör sugara pedig \sqrt 3 cm. Mekkora a háromszög másik két oldala?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1084. Az y2=4x egyenletű parabola húrját a P(8;4) pont 1:4 arányban osztja. Adjuk meg a húr végpontjainak a koordinátáit.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2011. június 10-én LEJÁRT.


B. 4362. Egy tömör kocka minden csúcsát úgy vágtuk le, hogy így egy 8 háromszöglapból és 6 hétszöglapból álló testet kaptunk. Hány csúcsa és éle lehet az ilyen poliédereknek?

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4363. Egy táblára felírtuk 2-től 2011-ig a természetes számok reciprokait. Egy lépésben letörlünk két számot, x-et és y-t, s helyettük felírjuk az


\frac{xy}{xy + (1-x)(1-y)}

számot. Ezt ismételve 2009-szer, csak egy szám marad. Mi lehet ez a szám?

Javasolta: Kovács Béla (Szatmárnémeti)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4364. Legyen a\geb\gec>0. Igazoljuk, hogy


\frac{a^{2}-b^{2}}{c}+\frac{c^{2}-b^{2}}{a}+\frac{a^{2}-c^{2}}{b}\ge 3a-4b+c.

Javasolta: Mészáros József (Jóka)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4365. Keressük meg az összes olyan n pozitív egész számot, amelyre 2n-1 és 2n+2-1 is prím, továbbá 2n+1-1 nem osztható 7-tel.

Javasolta: Kiss Sándor (Budapest)

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4366. Az ABC hegyesszögű háromszög magasságpontját jelölje M, a BCM, CAM, ABM háromszögek köré írt körök középpontjait pedig rendre A1, B1, C1. Igazoljuk, hogy az AA1, BB1 és CC1 egyenesek egy ponton mennek keresztül.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4367. Oldjuk meg a következő egyenletet:


\frac{3x+3}{\sqrt{x}}=4+\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}-x+1}}.

Javasolta: Mészáros József (Jóka)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4368. Az ABC háromszög AB, BC, CA oldalain vegyük fel rendre a D, E és F pontokat úgy, hogy AD:DB=BE:EC=CF:FA\ne1. Az AE, BF, CD egyenesek egymást a G, H, I pontokban metszik. Igazoljuk, hogy az ABC és GHI háromszögek súlypontja megegyezik.

Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4369. A k1, k2 és k3 körök mindegyike átmegy a P ponton, továbbá a ki és kj körök az Mi,j ponton is. Legyen A a k1 kör tetszőleges pontja. Legyen k4 az A-n és M1,2-n, k5 pedig A-n és M1,3-on átmenő tetszőleges kör. Mutassuk meg, hogy ha k4 és k2, k5 és k3, valamint k4 és k5 második metszéspontjai rendre B, C és D, akkor az M2,3, B, C, D pontok egy körön vagy egy egyenesen vannak.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4370. Jelölje a, b, c egy háromszög oldalainak hosszát, u, v, w pedig a beírt kör középpontjának a velük szemben levő csúcsoktól vett távolságát. Bizonyítsuk be, hogy


(a+b+c) \left(\frac{1}{u}+\frac{1}{v}+\frac{1}{w}\right)\le
3\left(\frac{a}{u}+\frac{b}{v}+\frac{c}{w}\right).

Javasolta: Mészáros József (Jóka)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4371. Igazoljuk, hogy


\frac{1}{\sin^2{\frac{\pi}{14}}} + \frac{1}{\sin^2{\frac{3\pi}{14}}} +
\frac{1}{\sin^2{\frac{5\pi}{14}}} = 24.

Javasolta: Kovács Béla (Szatmárnémeti)

(5 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2011. június 10-én LEJÁRT.


A. 536. Az a, b, c, d pozitív valós számokra a+b+c+d=abc+abd+acd+bcd teljesül. Igazoljuk, hogy


(a+b)(c+d)+(a+d)(b+c) \ge 4\sqrt{(1+ac)(1+bd)}.

(5 pont)

statisztika


A. 537. Az n pontú teljes gráf éleit megszámoztuk az 1,2,\dots,\binom{n}{2} számokkal úgy, hogy mindegyik szám pontosan egyszer fordul elő. Igazoljuk, hogy ha n elég nagy, akkor a gráfban van olyan (esetleg körbezáródó) három élből álló út, amelynek éleihez rendelt számok összege legfeljebb 3n-1000.

(Kolmogorov Kupa, 2009; I. Bogdanov, G. Cselnokov és K. Knop feladata)

(5 pont)

statisztika


A. 538. Adott a 3-dimenziós hiperbolikus térben egy \mathcal{P} sík, valamint négy különböző egyenes, a1, a2, r1 és r2 olyan helyzetben, hogy a1 és a2 merőleges \mathcal{P}-re, r1 koplanáris a1-gyel, r2 koplanáris a2-vel, továbbá r1 és r2 ugyanakkora szögben döfi \mathcal{P}-t. Forgassuk körbe r1-et a1 körül, és r2-et a2 körül; az általuk súrolt két forgásfelületet jelölje \mathcal{S}_1, illetve \mathcal{S}_2. Mutassuk meg, hogy \mathcal{S}_1 és \mathcal{S}_2 közös pontjai egy síkban vannak.

(A nemeuklideszi geometriákról Olvasóink például H. S. M. Coxeter A geometriák alapjai vagy Reiman István A geometria és határterületei c. könyvében olvashatnak.)

(5 pont)

statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)