Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A KöMaL 2012. decemberi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Feladat típusok elrejtése/megmutatása:

K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2013. január 10-én LEJÁRT.

K. 355. Legyen az ABCD négyzet AB oldalán az A-hoz közelebbi harmadoló pont F, az AD oldalán a D-hez közelebbi harmadoló pont E, a CD oldalán a C-hez közelebbi hatodoló pont pedig G. Milyen arányban osztják egymást az EFBG négyszög átlói?

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 356. A $2\,\_\,01\,\_\,2$ hatjegyű szám két számjegye hiányzik. Milyen számjegyeket írjunk a hiányzó helyekre, hogy az így kapott hatjegyű szám osztható legyen 36-tal és 117-tel is?

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 357. 1 és 100 között melyek azok a prímek, amelyek 1-gyel nagyobbak 4 egy többszörösénél, és eggyel kisebbek 5 egy többszörösénél?

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 358. Egy raktárban azonos tömegű és méretű, kocka alakú dobozok vannak összerendezve téglatest formára. A munkás, aki azt a feladatot kapta, hogy rakja fel ezeket egy teherautóra, egyszerre egy doboz vastagságának megfelelő függőleges vagy vízszintes irányú réteget pakol fel az autóra. (A dobozokhoz bármelyik irányból hozzá tud férni.) A dobozok tömege kilogrammban mérve egész szám. Az elsőként bepakolt dobozok összes tömege 60 kg, a másodszor bepakoltaké 84 kg, a harmadszor bepakoltaké 112 kg. Hány kg lehet az összes doboz tömege együttesen?

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 359. Legyen az n természetes szám legalább 5. Bizonyítsuk be, hogy egy téglalap felbontható n darab kisebb téglalapra úgy, hogy ezek közül semelyik két szomszédos téglalap egyesítése nem alkot egy nagyobb téglalapot.

(Bolyai Matematika Csapatverseny 2012 feladata nyomán)

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 360. A mellékelt ábrát négyzethálóra rajzoltuk. A háló szomszédos párhuzamos egyeneseinek távolsága 5 mm. Adjuk meg méterre kerekítve a vonal hosszát, ha 999 szakaszból áll.

(6 pont)

megoldás, statisztika

C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2013. január 10-én LEJÁRT.

C. 1145. Bizonyítsuk be, hogy a páratlan számok és a 4-gyel osztható egész számok felírhatók két négyzetszám különbségeként, a 4-gyel nem osztható páros számok viszont nem.

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1146. Adottak a síkon egy ötszög oldalainak felezőpontjai és egyik csúcsa. Mutassuk meg, hogy mindig találunk olyan pontot a síkon, amely az adott pontok közül hárommal együtt egy paralelogrammát, és a másik hárommal együtt is paralelogrammát alkot.

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1147. Oldjuk meg a

$\sqrt{x^2-1}+\sqrt{x-1}=x\sqrt x$

egyenletet.

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1148. Egy körbe írt négyszög átlói merőlegesek egymásra. Bizonyítsuk be, hogy bármelyik oldalának távolsága a kör középpontjától egyenlő a szemben lévő oldal felével.

Kvant

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1149. Egy háromnál nagyobb elemszámú halmazról tudjuk, hogy az egyelemű, a kételemű és a háromelemű részhalmazainak száma egy számtani sorozat egymást követő tagjai. Hány elemű a halmaz?

(5 pont)

megoldás, statisztika

B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2013. január 10-én LEJÁRT.

B. 4492. Bizonyítsuk be, hogy ha az a és b természetes számok csak számjegyeik sorrendjében különböznek egymástól, akkor az 5a és 5b számok számjegyeinek összege egyenlő.

(Kvant)

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 4493. Jelölje az n és k pozitív egészek legnagyobb közös osztóját (n,k), legkisebb közös többszörösét pedig [n,k]. Mutassuk meg, hogy tetszőleges a, b, c pozitív egészek esetén az [a,b], [b,c], [c,a] számok legnagyobb közös osztója megegyezik az (a,b), (b,c), (c,a) számok legkisebb közös többszörösével.

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4494. Az ABC egyenlő szárú háromszög BC alapjának felezőpontja F, a BF szakasz egy belső pontja D. A D pontban BC-re állított merőleges az AB oldalt M-ben, a D ponton átmenő, AB-vel párhuzamos egyenes az AC oldalt P-ben metszi. Adjuk meg az AMP és ABC háromszögek területének arányát k=BD:BC függvényében.

(Matlap, Kolozsvár)

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 4495. Adott az ABCD parallelogramma, valamint az F és a G pontok, melyekre teljesül, hogy AF=FC, BG=GD, továbbá az AFC és a BGD háromszögek hasonlóak. Mutassuk meg, hogy az FG egyenes merőleges a parallelogramma egyik oldalára.

Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 4496. A szórakozott professzor metróval utazik a mindkét irányban végtelen hosszú metróvonalon. Szeretne eljutni az áporkai állomásról a tyukodira. Utazás közben minden megállónál (egymástól függetlenül) p>0 valószínűséggel néz fel a jegyzeteiből. Ha felnéz, és észreveszi, hogy elérte utazása célját, leszáll. Ha azt látja, hogy túlment, akkor is leszáll, és felszáll a másik irányba tartó szerelvényre. Ha pedig felnéz, és még nem érte el Tyukodot, akkor folytatja útját. Ha nem néz fel, bárhol is legyen, fennmarad a szerelvényen. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy idő után Tyukodon leszáll?

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4497. Definiáljuk az (a_n) sorozatot a következőképpen: a₁=a₂=1, a₃=2,

$a_{n+3}=\frac{a_{n+2}a_{n+1}+n!}{a_n} \quad (n\ge 1).$

Igazoljuk, hogy a sorozat minden eleme egész szám.

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 4498. Azt mondjuk, hogy az ABCD konvex négyszög B csúcsa ,,különleges'', ha a BD egyenesnek az ABC szög felezőjére vett tükörképe felezi az AC átlót. Bizonyítsuk be, hogy ha egy húrnégyszög valamelyik csúcsa különleges, akkor minden csúcsa az.

Javasolta: Maga Péter

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 4499. Legyen P az A₁A₂A₃ hegyesszögű háromszög belső pontja. A T_i pontokat úgy vesszük fel, hogy az A_iT_i szakasz T_i-ben érintse a PA_i+1 átmérőjű kört (i=1,2,3, A₄=A₁). Mutassuk meg, hogy

$2\cdot \sum_{i=1}^3A_i T_i^2=\sum_{i=1}^3A_iA_{i+1}^2.$

Javasolta: Péter Árpád (Sepsiszentgyörgy) (Matlap, Kolozsvár)

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4500. Létezik-e olyan legalább másodfokú, egész együtthatós f polinom, amelyre teljesül, hogy tetszőleges n pozitív egész szám esetén az n,f(n),f(f(n)),... számok páronként relatív prímek?

(6 pont)

megoldás, statisztika

B. 4501. Egy szabályos tetraéder magassága 18 egység. Tükrözzük a tetraédert egyik magasságának a felezőpontjára. Határozzuk meg a két test közös részének felszínét és térfogatát.

(5 pont)

megoldás, statisztika

A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2013. január 10-én LEJÁRT.

A. 575. Igazoljuk, hogy ha $S\subset\{1,\ldots,n\}$ , és $|S|>\frac{n}3$ , akkor S-nek kiválasztható legfeljebb négy olyan, nem feltétlenül különböző eleme, amelyek összege 2-hatvány.

Javasolta: Kiss Sándor (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika

A. 576. Határozzuk meg mindazokat az n pozitív egész számokat, nullától különböző $c_1,c_2,\ldots,c_n$ valós számokat és t valós számot, amelyekhez létezik olyan $\{A_1,A_2,\ldots,A_n\}$ véges, nem üres ponthalmaz az S síkon, és $f\colon S\to \mathbb{R}$ nem konstans függvény, melyre

$\sum_{i=1}^n c_if\big(\varphi(A_i)\big)=t$

teljesül az S sík minden $\varphi$ hasonlósági transzformációjára.

Javasolta: Ágoston Tamás, (Budapest) és Mester Márton (Cambridge)

(5 pont)

megoldás, statisztika

A. 577. Bizonyítsuk be, hogy egy k-kromatikus gráf éleit tetszőlegesen két színnel színezve, van olyan k pontú fa a gráfban, melynek élei ugyanolyan színűek.

Schweitzer Miklós Emlékverseny, 2012

(5 pont)

A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:

megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)