A KöMaL 2014. márciusi matematika feladatai
Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.
Feladat típusok elrejtése/megmutatása:
 |
K-jelű feladatokA beküldési határidő 2014. április 10-én LEJÁRT. |
K. 415. A matematika szakkörre bevitt dobókockák 40%-a piros volt, a többi zöld. Egy másik alkalommal ehhez képest 10%-kal növeltük a pirosak számát és 5%-kal csökkentettük a zöldek számát. Hány százalékkal változott a dobókockák száma?
(6 pont)
K. 416. Tudjuk, hogy \(\displaystyle \overline{abcabc}=91\cdot \overline{acac\vphantom{b}}\) (az \(\displaystyle \overline{abcabc}\) egy hatjegyű szám, az \(\displaystyle \overline{acac\vphantom{b}}\) pedig egy négyjegyű szám, és az azonos betűk azonos számjegyeket jelentenek). Határozzuk meg az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) számjegyeket.
(6 pont)
K. 417. Egy cukrászdában négyféle süteményt lehet kapni: túrósat, diósat, mákosat és csokisat. A cukrászdában levő sütemények száma a túrósak nélkül 162, a diósak nélkül 158, a mákosak nélkül 150, a csokisak nélkül pedig 160. Melyik süteményből hány darab van a cukrászdában?
(6 pont)
K. 418. Valamilyen számrendszerben felírva egy 100 fős osztályba 32 lány és 24 fiú jár. Mekkora az osztálylétszám tízes számrendszerben?
(6 pont)
K. 419. Hat egybevágó kör egy körgyűrűben úgy helyezkedik el, hogy mindegyikük érinti a körgyűrűt határoló köröket és a szomszédjait is. A körgyűrű területének hányadrészét fedik le ezek a körök?
(6 pont)
K. 420. Sanyi 63 km-t vezet minden reggel munkába menet. Ha 20 perccel később indul a szokásosnál, akkor a feltorlódó autók miatt menetideje 40%-kal megnő, így átlagsebessége 36 km/h-ra csökken. Mennyi idő alatt ér be Sanyi a munkahelyére a szokásos időben indulva?
(6 pont)
 |
C-jelű feladatokA beküldési határidő 2014. április 10-én LEJÁRT. |
C. 1217. Bizonyítsuk be, hogy hét tetszőleges egész szám közül ki lehet választani négyet úgy, hogy összegük osztható legyen 4-gyel.
(5 pont)
C. 1218. Egy 80 cm sugarú körasztalon a négyzet alakú terítő félrecsúszott. A terítő egyik sarka pontosan az asztal szélére került, és az ezzel szemközti csúcsra illeszkedő két oldala érinti az asztal szélét. Adjuk meg a terítő oldalának hosszát milliméter pontossággal.
(5 pont)
C. 1219. Igazoljuk, hogy \(\displaystyle 9^m\) (\(\displaystyle m\) pozitív egész) mindig felírható három pozitív négyzetszám összegeként.
(5 pont)
C. 1220. Egy szabályos háromszögrácson az ábrán látható vonal rajzolását a megkezdett módon folytathatjuk. Minden új szakasz egy egységgel hosszabb, mint az előző volt.
A rajzolást egy olyan szakasz végpontjánál szeretnénk befejezni, amely az \(\displaystyle A\) kezdőponttól egész egységnyire van. Minimum hány egység hosszúságú vonalat kell rajzolnunk?
(5 pont)
C. 1221. Az \(\displaystyle ABCD\) négyzet \(\displaystyle AD\) oldalának felezőpontja \(\displaystyle F\), az \(\displaystyle AB\) oldalának \(\displaystyle B\)-hez közelebbi negyedelőpontja \(\displaystyle N\). Milyen arányban osztja az \(\displaystyle AFN\) háromszög köré írt köre az \(\displaystyle AC\) átlót?
(5 pont)
C. 1222. Egy mértani sorozat első négy elemének összege 15,6, reciprokaik összege 12,48. Melyik ez a négy szám, ha az első elem 0,1?
(5 pont)
C. 1223. Egy szabályos négyoldalú gúla oldallapjai egyenlő oldalú háromszögek. Mekkora a gúla szomszédos oldallapjainak hajlásszöge?
(5 pont)
 |
B-jelű feladatokA beküldési határidő 2014. április 10-én LEJÁRT. |
B. 4612. Egy 9 tagú társaságból mindenki \(\displaystyle k\) társának küld újévi üdvözlőlapot. Határozzuk meg \(\displaystyle k\) legkisebb értékét úgy, hogy biztosan legyen olyan pár, akik kölcsönösen üdvözlik egymást.
(3 pont)
B. 4613. Legyen az \(\displaystyle A_1B_1C_1D_1\) rombusz az \(\displaystyle ABCD\) paralelogramma belsejében úgy, hogy az \(\displaystyle \overrightarrow{AB}\) és \(\displaystyle \overrightarrow{A_1B_1}\), valamint a \(\displaystyle \overrightarrow{BC}\) és \(\displaystyle \overrightarrow{B_1C_1}\) vektorok egyirányúak. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle ABCD\) pontosan akkor rombusz, ha az \(\displaystyle AA_1D_1D\) és a \(\displaystyle BCC_1B_1\) négyszögek területének összege egyenlő az \(\displaystyle ABB_1A_1\) és a \(\displaystyle CDD_1C_1\) négyszögek területének összegével.
(Matlap, Kolozsvár, Longáver Lajos nagybányai tanár feladata)
(3 pont)
B. 4614. Tegyük fel, hogy \(\displaystyle x_1,\dots,x_n\) és \(\displaystyle y_1,\dots,y_n\) olyan nemnegatív számokból álló monoton növő sorozatok, amelyekre az \(\displaystyle n\) tag összege 1.
\(\displaystyle a)\) Legfeljebb mekkora lehet \(\displaystyle \min_{1\le i\le n} |x_i-y_i|\)?
\(\displaystyle b)\) Legfeljebb mekkora lehet \(\displaystyle \sum_{i=1}^n{|x_i-y_i|}\)?
(5 pont)
B. 4615. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög mindegyik szöge kisebb, mint \(\displaystyle 120^{\circ}\). A háromszög izogonális pontja \(\displaystyle P\). A \(\displaystyle P\) ponton keresztül húzzunk párhuzamos egyeneseket az oldalakkal. A párhuzamosok metszete az \(\displaystyle AB\) oldallal \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle E\), a \(\displaystyle BC\) oldallal \(\displaystyle F\) és \(\displaystyle G\), a \(\displaystyle CA\) oldallal pedig \(\displaystyle H\) és \(\displaystyle I\). Legyenek a \(\displaystyle DEP\), \(\displaystyle FGP\), \(\displaystyle HIP\) háromszögek izogonális pontjai \(\displaystyle K\), \(\displaystyle L\) és \(\displaystyle M\). Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle KLM\) háromszög szabályos.
Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)
(5 pont)
B. 4616. Mely \(\displaystyle n\)-ekre adnak az \(\displaystyle 1!,2!, \ldots, n!\) számok páronként különböző maradékot \(\displaystyle n\)-nel osztva?
(4 pont)
B. 4617. Mekkora szöget zárhat be egy derékszögű háromszög átfogója és az egyik befogóhoz tartozó súlyvonal?
Holló Gábor (Budapest)
(4 pont)
B. 4618. Az \(\displaystyle A_1\,A_2\, \ldots \,A_n\) sokszögbe és köré is írható kör. A beírt kör középpontja \(\displaystyle O\), továbbá az \(\displaystyle OA_{i} A_{i+1}\) kör középpontja \(\displaystyle C_i\) (\(\displaystyle i=1, 2,\ldots, n\), és \(\displaystyle A_{n+1}=A_1\)). Igazoljuk, hogy \(\displaystyle C_{1},C_2,\dots,C_{n}\) egy körön vannak.
(5 pont)
B. 4619. Oldjuk meg az
\(\displaystyle x^{2}-4x+3=\sqrt{1+\sqrt{x-1}} \)
egyenletet.
Javasolta: Kovács Béla (Szatmárnémeti)
(5 pont)
B. 4620. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges \(\displaystyle 0\le a_1\le\ldots\le a_{3n}\) számok esetén
\(\displaystyle \bigg(\sum_{i=1}^{3n}a_i\bigg)^3 \ge 27n^2\bigg(\sum_{i=1}^{n}a_ia_{n+i}a_{2n+i}\bigg). \)
(6 pont)
B. 4621. Egy tetraéderről tudjuk, hogy van olyan gömb, amely mindegyik élét érinti, továbbá egyik lapjához létezik olyan gömb, amely érinti a lapon lévő három élt és a másik három él meghosszabbítását. Mutassuk meg, hogy ekkor a tetraéder mindegyik lapjához létezik a lapon lévő éleket és a másik három él meghosszabbítását érintő gömb.
(6 pont)
 |
A-jelű feladatokA beküldési határidő 2014. április 10-én LEJÁRT. |
A. 611. Legyen \(\displaystyle n\) pozitív egész. Határozzuk meg
\(\displaystyle \big|p(1)\big|^2+\big|p(2)\big|^2+\ldots+\big|p(n+3)\big|^2 \)
legkisebb lehetséges értékét, ha \(\displaystyle p\) olyan \(\displaystyle n\)-edfokú polinom, amelynek főegyütthatója \(\displaystyle 1\).
(5 pont)
A. 612. Van-e végtelen sok olyan pozitív egész szám, amely nem áll elő sem két teljes hatvány összegeként, sem két teljes hatvány különbségeként?
(5 pont)
A. 613. Adott az \(\displaystyle ABCD\) konvex négyszög \(\displaystyle AB\) oldalán az \(\displaystyle E\) és az \(\displaystyle F\), a \(\displaystyle BC\) oldalon a \(\displaystyle G\) és a \(\displaystyle H\), a \(\displaystyle CD\) oldalon az \(\displaystyle I\) és a \(\displaystyle J\), a \(\displaystyle DA\) oldalon pedig a \(\displaystyle K\) és az \(\displaystyle L\) pont úgy, hogy \(\displaystyle AE<AF<AB\), \(\displaystyle BG<BH<BC\), \(\displaystyle CI<CJ<CD\), és \(\displaystyle DK<DL<DA\). Az \(\displaystyle EJ\) szakasz \(\displaystyle GL\)-et és \(\displaystyle HK\)-t a \(\displaystyle P\), illetve az \(\displaystyle S\) pontban, az \(\displaystyle FI\) szakasz \(\displaystyle GL\)-et és \(\displaystyle HK\)-t a \(\displaystyle Q\), illetve az \(\displaystyle R\) pontban metszi. A \(\displaystyle P\) és az \(\displaystyle R\) pont az \(\displaystyle AC\), a \(\displaystyle Q\) és az \(\displaystyle S\) pont pedig a \(\displaystyle BD\) átlóra esik.
Mutassuk meg, hogy ha az \(\displaystyle AEPL\), \(\displaystyle BGQF\) és \(\displaystyle CIRH\) négyszögek érintőnégyszögek, akkor a \(\displaystyle DKSJ\) négyszög is érintőnégyszög.
A Zsautikov Olympia feladata alapján
(5 pont)
A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:
- megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.
(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)