A KöMaL 2022. májusi matematika feladatai

C-jelű feladatok A beküldési határidő 2022. június 10-én LEJÁRT.

---

C. 1721. Boglárka felírt sorban egymás után \(\displaystyle 2022\) darab számot úgy, hogy a második számot elosztva az elsővel, a hányados éppen a harmadik számmal lett egyenlő, és így tovább, például a hetedik szám egyenlő a hatodik és az ötödik szám hányadosával. Melyik számot írta fel utoljára Boglárka, ha az első a \(\displaystyle 20\), a második pedig a \(\displaystyle 22\) volt?

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1722. Az \(\displaystyle ABCD\) négyszögről tudjuk, hogy a \(\displaystyle AD\) oldal ugyanolyan hosszú, mint a \(\displaystyle DC\) oldal, valamint hogy a \(\displaystyle DAB\) szöget \(\displaystyle \alpha\)-val jelölve \(\displaystyle ABC\sphericalangle=2\alpha\), \(\displaystyle BCD\sphericalangle= 3\alpha\) és \(\displaystyle CDA\sphericalangle=4\alpha\). Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle AB\) oldal kétszer olyan hosszú, mint az \(\displaystyle AD\) oldal.

(Német versenyfeladat)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1723. Határozzuk meg mindazon, csupa különböző számjegyből álló, legfeljebb négyjegyű \(\displaystyle \overline{abcd}\) számokat (ahol \(\displaystyle a=0\) is megengedett), amelyekre \(\displaystyle 9\cdot\overline{abcd}= \overline{acbcd}\).

Javasolta: Siposs András (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1724. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben \(\displaystyle CAB\sphericalangle=30^{\circ}\). Mekkorák a háromszög ismeretlen szögei, ha a háromszög \(\displaystyle C\) pontból induló súlyvonala \(\displaystyle 45^{\circ}\)-os szöget zár be az \(\displaystyle AB\) egyenessel?

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1725. Legyen \(\displaystyle p\) pozitív prímszám. Tudjuk, hogy az \(\displaystyle x^2-px-580p=0\) egyenlet gyökei egész számok. Határozzuk meg \(\displaystyle p\) értékét.

Javasolta: Szalai Máté (Szeged)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1726. Mutassuk meg, hogy ha \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\), \(\displaystyle z\) olyan valós számok, amelyekre

\(\displaystyle \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=1, \quad\text{akkor}\quad \frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}=0. \)

Adjunk meg a feltételt teljesítő valós számokat.

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1727. Fúrjunk át egy \(\displaystyle R\) sugarú tömör gömböt egy, a gömb középpontján átmenő egyenes mentén egy \(\displaystyle r\) sugarú hengeres fúróval, ahol \(\displaystyle r<R\). Fejezzük ki a keletkezett maradéktest térfogatát a maradéktest \(\displaystyle m\) magasságának függvényében.

Javasolta: Szabó Bertalan (Miskolc, 1986)

(5 pont)

megoldás, statisztika

B-jelű feladatok A beküldési határidő 2022. június 10-én LEJÁRT.

---

B. 5246. 14 ember ül egy asztal körül, mindenki kék vagy sárga pólóban. Legfeljebb hány emberre teljesülhet, hogy a két szomszédja különböző színű pólóban van?

(3 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5247. Egy kötél két végpontját a talajhoz rögzítettük úgy, hogy a két végpont távolsága kisebb a kötél hosszánál. A kötél középső pontját 150 cm magasságra felemelve a kötél megfeszül. A kötél egyik végétől 90 cm-re lévő pontját felemelve a kötél 90 cm magasan feszül meg. Milyen hosszú a kötél?

(3 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5248. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert a valós számok halmazán:

$$\begin{align*} \frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}+x+y & =\frac{8}{xy},\\ x(x+1)+y(y+1) & =6. \end{align*}$$

(4 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5249. Jelöljük az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt körének érintési pontjai által meghatározott háromszög területét \(\displaystyle T_0\)-lal, a hozzáírt körök középpontjai által meghatározott háromszög területét pedig \(\displaystyle T_1\)-gyel. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle T_0\) és \(\displaystyle T_1\) mértani közepe megegyezik az \(\displaystyle ABC\) háromszög területével.

Javasolta: Bártfai Pál

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5250. Igazoljuk, hogy minden nemnegatív egész \(\displaystyle n\) számra

\(\displaystyle 2^{2^{n}(n-2)+n+2}\le (2^n)!\le 2^{2^{n}(n-1)+1}. \)

Javasolta: Blahota István (Nyíregyháza)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5251. Vegyük fel azt az \(\displaystyle ABCD\) téglalapot a koordinátarendszerben, amelynek csúcsai \(\displaystyle A(0,0)\), \(\displaystyle B(2022,0)\), \(\displaystyle C(2022,2)\), \(\displaystyle D(0,2)\). Tekintsük azokat az egységnyi területű háromszögeket, amelyek mindhárom csúcsa a téglalap hosszabbik oldalpárjának egy-egy rácspontja. Ezeket a háromszögeket szeretnénk megszínezni úgy, hogy azonos színű háromszögeknek nem lehet közös belső pontjuk. Legalább hány színre van ehhez szükségünk?

Javasolta: Nagy Zoltán Lóránt (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5252. Adott egy hat csúcsú \(\displaystyle ABCA_1B_1C_1\) poliéder, amelynek \(\displaystyle ABC\) és \(\displaystyle A_1B_1C_1\) két háromszöglapja, továbbá az \(\displaystyle AA_1\), \(\displaystyle BB_1\) és \(\displaystyle CC_1\) élei párhuzamosak. Az \(\displaystyle AA_1B_1B\), \(\displaystyle BB_1C_1C\) és \(\displaystyle CC_1A_1A\) trapézlapok átlóinak metszéspontjai \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\) és \(\displaystyle R\). Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle ABCPQR\) és \(\displaystyle A_1B_1C_1PQR\) poliéderek térfogata meg­egyezik.

Javasolta: Kocsis Szilveszter (Budapest)

(6 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5253. Igaz-e, hogy ha \(\displaystyle \binom{n}{k}\) páros, akkor az \(\displaystyle n\) elemű \(\displaystyle S\) halmaz \(\displaystyle k\) elemű részhalmazai párokba rendezhetők úgy, hogy az egy párba tartozó részhalmazok szimmetrikus differenciája mindig 2 elemű?

(6 pont)

megoldás, statisztika

A-jelű feladatok A beküldési határidő 2022. június 10-én LEJÁRT.

---

A. 827. Legyen \(\displaystyle n>1\) egész szám. Egy pakliban \(\displaystyle n\)-féle színű és \(\displaystyle n\)-féle értékű kártya van, minden szín és érték párból pontosan egy, azaz összesen \(\displaystyle n^2\) darab. A paklit megkeverjük, és kiosztjuk \(\displaystyle n\) játékos között úgy, hogy mindenki \(\displaystyle n\) darab kártyát kapjon. A játékosok azt akarják megcsinálni, hogy egy általuk választott sorrendben leülnek egy kör alakú asztalhoz, és az első játékostól kezdve sorban leraknak egy-egy lapot, míg végül mindenki lerakta az összes lapját úgy, hogy mindig olyan kártyát kell rakni, amely sem színben, sem értékben nem egyezik meg a közvetlenül előtte lerakott kártyával (az elsőnek lerakott kártya bármi lehet). Mely \(\displaystyle n\)-ekre lehetséges, hogy úgy lett kiosztva a pakli, hogy a játékosok ezt nem tudják megcsinálni? (A játékosok együttműködnek egymással, és látják egymás lapjait.)

Javasolta: Kocsis Anett (Budapest)

(7 pont)

megoldás, statisztika

---

A. 828. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt körének középpontja \(\displaystyle I\), hozzáírt körei pedig \(\displaystyle \Omega_A\), \(\displaystyle \Omega_B\) és \(\displaystyle \Omega_C\). Legyen \(\displaystyle \ell_A\) az az egyenes, amely átmegy az \(\displaystyle I\) pontból az \(\displaystyle \Omega_A\) körhöz húzott érintők érintési pontjain. Az \(\displaystyle \ell_B\) és \(\displaystyle \ell_C\) egyenesek hasonlóan vannak definiálva. Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle \ell_A\), \(\displaystyle \ell_B\) és \(\displaystyle \ell_C\) egyenesek által meghatározott háromszög magasságpontja megegyezik az \(\displaystyle ABC\) háromszög Nagel-pontjával.

(Ha egy háromszög csúcsait összekötjük a szemközti oldalhoz hozzáírt körök érintési pontjaival, a kapott három szakasz közös pontja a háromszög Nagel-pontja.)

Javasolta: Nikolai Beluhov (Bulgaria)

(7 pont)

megoldás, statisztika

---

A. 829. Legyen \(\displaystyle G\) egy \(\displaystyle n\) csúcsú egyszerű gráf, melynek van legalább egy éle, és tekintsük a gráf csúcsainak azon \(\displaystyle S\colon V(G)\to \mathbb{R}^{\ge 0}\) súlyozásait, melyekre \(\displaystyle \sum\limits_{v\in V(G)}S(v)=1\). Legyen továbbá

\(\displaystyle f(G)=\max_S \min_{(v,w)\in E(G)} S(v)S(w), \)

ahol \(\displaystyle S\) végigfut az összes lehetséges súlyozáson.

Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle f(G)=\frac{1}{n^2}\) akkor és csak akkor teljesül, ha \(\displaystyle G\) csúcsai lefedhetők élek és páratlan körök diszjunkt uniójával. (\(\displaystyle V(G)\) a \(\displaystyle G\) gráf csúcsait, \(\displaystyle E(G)\) a \(\displaystyle G\) gráf éleit jelöli.)

(7 pont)

megoldás, statisztika