Csatár Katalin - Harró Ágota - Hegyi Györgyné - Lövey Éva - Morvai Éva - Széplaki Györgyné - Ratkó Éva:

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS FELADATOK Kezdőknek

2. rész

  1. rész   2. rész   3. rész   4. rész   5. rész   6. rész   7. rész

És akkor jöjjenek a feladatok

1. a dobott szám 4-gyel osztható,
2. a dobott szám 3-mal osztható,
3. a dobott szám 4-gyel és 3-mal osztható,
4. a dobott szám 4-gyel vagy 3-mal osztható,
5. a dobott szám sem 3-mal, sem 2-vel nem osztható,
6. a dobott szám jegyeinek összege legfeljebb 4,
7. a dobott szám nem négyzetszám?

1. A tizenkét számból három osztható 4-gyel : 4, 8,12.
   P =
2. A tizenkét számból négy osztható 3-mal : 3, 6, 9, 12 .
   P =
3. Csak a 12 osztható 3-mal és 4-gyel, tehát
   P =
4. Azt már láttuk, hogy három 4-gyel, illetve négy 3-mal osztható szám van a tizenkét szám között. A kettőt összeadva azt kapjuk, hogy 4+3=7 olyan szám van, ami 4-gyel vagy 3-mal osztható. De a 12-t kétszer is beleszámoltuk, ezért valójában csak 7-1=6 ilyen szám van. Vagyis
   \(\displaystyle P={6\over12}={1\over2}\)
5. Nem osztható sem 2-vel, sem 3-mal az 1, az 5, a 7 és a 11, ezért
   P =
6. A számjegyek összege legfeljebb 4 az 1,a 2, a 3, a 4, a 10, a 11 és a 12 számoknál, ezért
   P =
7. Négyzetszámok az 1, a 4, a 9 , a többi kilenc nem az, tehát
   P =

3. Fanni a zsebében lévő két szem citromos és két szem málnás cukorkából kivesz kettőt. Mekkora a valószínűsége annak, hogy különböző ízűek?

Megoldás:

A négy cukorkából kettőt módon lehet kiválasztani. Ezekből nekünk két eset nem felel meg: ha a két citromosat, vagy a két málnásat választja. Ezek valószínűsége . A többi négy esetben különböző a két cukor íze. Ennek a valószínűsége: . (Ezt így is megkaphattuk volna: 1 -1/3 = 2/3.)

4. Két tálban 10-10 darab alma van, mindegyikben egy sárga, a többi piros. Bekötött szemmel választunk egy-egy almát mindkét tálból.

1. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a két sárgát választjuk?
2. Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy sárgát és egy pirosat választunk?
3. Mekkora a valószínűsége annak, hogy legalább az egyik választott alma piros?

Megoldás:

1. Annak a valószínűsége, hogy az egyik tálból a sárga almát választjuk 0,1. A két tálból egymástól függetlenül választunk, ezért annak a valószínűsége, hogy mindkét tálból a sárgát vesszük ki 0,1×0,1=0,01.
2. Annak a valószínűsége, hogy az egyik tálból a sárga almát választjuk 0,1; annak, hogy a pirosat 0,9. A sárga almát vagy az első, vagy a második tálból választhatjuk, ezért a két különböző színű alma választásának valószínűsége: 0,1×0,9+0,9×0,1=2×0,1×0,9=0,18.
3. Ha legalább az egyik alma piros, akkor vagy az egyik piros és a másik sárga, vagy mindkettő piros. Annak a valószínűsége, hogy az egyik választott alma piros, a másik pedig sárga a b. feladat szerint 0,18. Annak a valószínűsége, hogy mindkét választott alma piros 0,9×0,9=0,81. Így annak a valószínűsége, hogy legalább az egyik választott alma piros: 0,18+0,81=0,99. Ugyanerre az eredményre jutunk, ha azt mondjuk, hogy akkor nem lenne egy piros alma sem, ha mind a kétszer sárgát választunk. Tehát P(legalább az egyik piros)=1-P(mindkettő sárga)=1-0,01=0,99.

5. Az számkártyákat összekeverjük, majd egymás után letesszük az asztalra. Mekkora a valószínűsége annak, hogy az így kirakott négyjegyű szám

1. páratlan,
2. hárommal osztható,
3. néggyel osztható?

Megoldás:

A négy számkártyát 4×3×2×1=24 különböző sorrendben tudjuk egymás után letenni.

1. Akkor páratlan, ha 1-re vagy 3-ra végződik, ez a 24 lehetséges eset fele, vagyis a valószínűsége 0,5.
2. A számjegyek összege 1+2+3+4=10, azaz egyik szám sem lesz hárommal osztható, a valószínűség 0.
3. Akkor osztható néggyel, ha az utolsó két számjegy 12 vagy 24 vagy 32. Mindhárom esetben a maradék két számjegy kétféle sorrendben állhat elöl, tehát a kedvező esetek száma 2×3=6. A valószínűség tehát .

6. Két dobókockával dobunk egyszerre és összeadjuk a dobott számokat. Tomi arra fogad, hogy az összeg 6 lesz, Laci arra, hogy az összeg 7 lesz, Feri pedig arra, hogy az összeg 8 lesz. Melyiküknek van nagyobb esélye a nyerésre?

Megoldás:

Két kockával egyszerre dobva 6×6=36 a lehetséges esetek száma. Ebből a 36-ból kell kiválasztanunk azokat, amelyeknél a dobott számok összege 6, vagy 7, vagy 8.
Az 1; 2; 3; 4; 5; 6 számokból a 6 is, a 7 is és a 8 is háromféle módon állítható elő két szám összegeként:

7. Két dobókockával dobunk. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a dobott számok

1. szorzata 12,
2. szorzata prímszám?

1. 12 = 2 × 6
           6 × 2
           3 × 4
           4 × 3
   A szorzat négyféleképpen állhat elő , ezért P( a szorzat 12 ) = .
2. A szorzatok között három prímszám van, a 2, a 3 és az 5. Mindegyik kétféleképpen jöhet ki: 2 = 2×1= 1×2, 3 = 3×1 = 1×3, 5 = 5×1= 1×5, ez 6 eset.
   Tehát P( a szorzat prímszám) = .

8. Két dobókockával dobunk. Adjunk meg olyan elemi eseményeket, amelyek valószínűsége

a.

b.

c.

d.    1

1. P(a dobott számok összege 3) = =
2. P(a dobott számok összege páros négyzetszám) = =
3. P(a dobott számok összege 5-nél nagyobb prímszám) = =
4. P(a dobott számok szorzata legfeljebb 36) = 1

9. Balázs és Marci testvérek. Esténként négy dobókocka feldobásával döntik el, ki sétáltatja másnap reggel a kutyát. Négy kockával dobnak egyszerre. Ha a négy szám között van hatos, akkor Balázs, különben Marci sétáltatja másnap a kutyát. Igazságos-e ez a módszer?

Megoldás:

Egy kockadobás eredménye hatféle lehet: 1; 2; 3; 4; 5; 6.
Marci akkor sétáltatja a kutyát, ha nem dobnak hatost, vagyis a dobások eredménye az 1; 2; 3; 4; 5 számok közül kerül ki.
Így annak a valószínűsége, hogy egy dobás nem hatos .
Annak a valószínűsége, hogy a négy kocka egyikén sincs hatos, vagyis hogy Marci sétáltatja reggel a kutyát:

Minden más esetben van 6-os a dobások között, tehát P(B) = 1-P(M)0,52.
Tehát kicsivel nagyobb a valószínűsége annak, hogy Balázs sétáltatja reggel a kutyát, mint annak, hogy Marci: a módszer nem igazságos.

10. Öt dobókockával dobunk egyszerre. Mekkora annak a valószínűsége, hogy három kockán lesz páros szám, kettőn pedig páratlan?

Megoldás:

A dobókocka oldalain ugyanannyi páros szám van, mint páratlan, ezért ugyanakkora eséllyel gurul páros számra, mint páratlanra.
A kockák egymástól függetlenül gurulnak, ezért az összes lehetséges eset 2⁵ = 32, hiszen minden kocka vagy páros, vagy páratlan számot mutat.
Feltéve, hogy két kocka mutat páros, három páratlan számot, a következő lehetőségek adódnak:

1. 2. 3. 4. 5. ps ps ps ptl ptl ps ps ptl ps ptl ps ps ptl ptl ps ps ptl ps ps ptl ps ptl ps ptl ps ps ptl ptl ps ps ptl ps ps ps ptl ptl ps ps ptl ps ptl ps ptl ps ps ptl ptl ps ps ps

Ez tíz eset a 32-ből, tehát a valószínűség

11. Egy fiókban van hat pár kesztyű.

1. Csukott szemmel kiveszünk belőle két darabot. Mekkora a valószínűsége annak, hogy két jobbkezes kesztyűt választunk?
2. A hat pár kesztyűből kivettünk két darab jobbkezest, majd a maradékból megint húzunk két darabot csukott szemmel. Mekkora a valószínűsége annak, hogy két balkezest választunk?

1. 6 db jobbkezes és 6 db balkezes kesztyű van a fiókban. Közülük kettőt lehetséges módon tudunk kiválasztani. Nekünk az a kedvező, ha mindkét kesztyű a jobbkezesek közül kerül ki. Ez esetben fordulhat elő. Így két jobbkezes kesztyű kiválasztásának valószínűsége: .
2. Most 4 db jobbkezes és 6 db balkezes kesztyű van a fiókban. Közülük kettőt lehetséges módon tudunk kiválasztani. Most az a kedvező, ha mindkét kesztyű a balkezesek közül kerül ki. Ez esetben fordulhat elő.

12. Feldobunk először egy 20 forintost és egy 50 forintost egyszerre, majd két 10 forintost. Mennyi az egyes esetekben a valószínűsége annak, hogy mindkettő érmén fej lesz, mindkettőn írás lesz, illetve az egyiken fej, a másikon írás lesz?
Megoldás:

Az első esetben a következő lehet a dobás kimenetele:

A második esetben az egyik 10 forintost megjelölve ugyanazt a feladatot kapjuk, mint az első esetben. A valószínűségek: P(FF) = P(ÍÍ) = 0,25 és P(FÍ) = 0,5.

13. Karesz pénztárcájában 5 db 20 Ft-os van. Édesanyja betett a húszasok mellé néhány 10 Ft-ost is. Hány db tízest kapott Karesz, ha ezek után a pénztárcájából találomra kiválasztott érme 0,8 valószínűséggel 10 Ft-os?

Megoldás:

Ha édesanyja x db 10 Ft-ost tesz a pénztárcába, akkor x + 5 db érem lesz benne.
Így P(10-est választunk) = innen x = 20, tehát Karesz édesanyja 20 db 10 Ft-ost tett a pénztárcába.

14. Vettünk öt darab egyforma Blend-a-med Complete és egy Blend-a-med Soda Bicarbonate fogkrémet. A szatyorban kicsúsztak a dobozukból. Hazaérve találomra beletettünk mindegyik dobozba egy-egy tubus fogkrémet.

1. Mekkora a valószínűsége annak, hogy mindegyik dobozban a feliratnak megfelelő fogkrém van?
2. Mekkora a valószínűsége annak, hogy pontosan öt dobozban van a feliratnak megfelelő fogkrém?
3. Mekkora a valószínűsége annak, hogy pontosan négy dobozban van a feliratnak megfelelő fogkrém?

1. Ha a Blend-a-med Soda Bicarbonate fogkrém a saját dobozába kerül, akkor a többi is a feliratnak megfelelő helyen lesz. Ha a Blend-a-med Soda Bicarbonate fogkrém nem kerül a saját dobozába, akkor a többi sem mind, hiszen az egyik Blend-a-med fogkrém a Blend-a-med Soda Bicarbonate dobozába kerül. Tehát annak a valószínűsége, hogy mindegyik dobozban a feliratnak megfelelő fogkrém van, megegyezik annak a valószínűségével, hogy a Blend-a-med Soda Bicarbonate fogkrém a saját dobozában van, ez pedig .
2. Ha pontosan öt dobozban van a feliratnak megfelelő fogkrém, akkor már csak egy doboz és egy fogkrém maradt, így az utolsó fogkrémet csak a helyére tudjuk tenni. Vagyis 0 annak a valószínűsége, hogy pontosan öt dobozban van a feliratnak megfelelő fogkrém.
3. Ha a Blend-a-med Soda Bicarbonate fogkrém a saját dobozába kerül, akkor a többi is a feliratnak megfelelő helyen lesz, ezért ez nem lehet a helyén, hanem Blend-a-med-es dobozban van. Ekkor egy tubus Blend-a-med nincs jó helyen, a többi igen. Így annak a valószínűsége, hogy pontosan négy dobozban van a feliratnak megfelelő fogkrém, megegyezik annak a valószínűségével, hogy a Blend-a-med Soda Bicarbonate nincs a helyén, ez pedig .

15. A virágoskertben tavasszal háromféle tulipán (piros, sárga, rózsaszín) és kétféle nárcisz (fehér és sárga) nyílik egyszerre. A szobában a váza mellett egy kosárkában mindig van öt cédula, a következő feliratokkal: piros tulipán, sárga tulipán, rózsaszín tulipán, fehér nárcisz, sárga nárcisz. Mama minden nap egy cédula kihúzásával dönti el, melyikből szedjen a vázába. Mekkora a valószínűsége annak, hogy április 20-án és 21-én is

1. sárga nárciszt;
2. ugyanolyan virágot;
3. tulipánt szed?

1. Mama első nap öt cédulából húz, a sárga nárcisz valószínűsége . Másnap szintén öt cédulából húz, a sárga nárcisz valószínűsége ismét . Így két egymást követő napon a sárga nárcisz valószínűsége: .
2. Ha a két napon ugyanolyan virágot szed, akkor a második napi húzásnál ugyanazt a cédulát kell kihúzni, amit első nap. Egy adott cédula kihúzásának a valószínűsége . Tehát annak a valószínűsége, hogy két egymást követő napon ugyanolyan virágot szed mama a vázába .
3. Az ötféle virágból három tulipán, így annak a valószínűsége, hogy mama tulipános cédulát húz . A második napon is ugyanazokból a cédulákból húz, így két egymást követő napon a tulipán valószínűsége: .

  1. rész   2. rész   3. rész   4. rész   5. rész   6. rész   7. rész