[57] Csillag | 2003-11-12 22:20:02 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/30/0_rouR.jpg) Üdv Mindenkinek!
Sajnos ábrát nem tudok rajzolni, de egy megoldást elmondok a geometria példához: E tükörképe a C-nél levő szögfelezőre G. A C-nél levő szögfelező és az AE metszéspontja F. GD=GF, mert
![\frac{GD}{DC} =\frac{BG}{BC} =\frac{CG}{CB} =\frac{GF}{FB}](keplet.cgi?k=A90EDB1D3021D181)
(szögfelezőtétel többszöri felhasználása, GCB =GBC =20o)
Tehát GD=GF=GE=FE(mert GEF szabályos háromszög). BGA =40,FGD =140,GDF =20,DF||CB,FDB =DBC =10,DGE =80,GDE =50,BDE =GDE -GDF -FDB =20.
Vagyis a keresett szög 20 fokos.
GB
|
Előzmény: [46] jenei.attila, 2003-11-10 10:44:46 |
|
[56] Lóczi Lajos | 2003-11-12 19:38:44 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/41/1_Hti1.jpg) Tetszetős ez a megoldás... Kérdezném, kinek mi a véleménye e megoldás alábbi határesetéről: az északi sarkponttól 1 km-re délfelé kezdi meg az útját; 1 km-t északra haladva bejut az É sarkra, kelet felé onnan nem tud (mert nem lehet) haladni, tehát nem mozdul, majd dél felé 1 km-t ballag és visszajut a kezdőpontba.
Azaz, elfogadjuk-e "1 km keletre haladásnak" azt, ha valahol nem lehet kelet felé haladni.
Másik megjegyzésem: hogyan lehetne (formálisan, esetleg rajz nélkül) bizonyítani, hogy több lehetséges útvonal nincsen? (Hiszen az első megoldás is meggyőzőnek tűnt.)
Azzal is érdekes -- és minden bizonnyal sokmegoldású -- feladatokat lehetne gyártani, ha pl. a megtett távolságok összemérhetők/meghaladják a bolygó (fél)kerületét.
|
Előzmény: [55] Sirpi, 2003-11-12 14:58:22 |
|
[55] Sirpi | 2003-11-12 14:58:22 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/13/4_Dwus.jpg) Lorybetti: a feltételek csak úgy teljesülhetnek, ha a medve kezdetben pontosan a déli sarkponton áll, majd halad É fele, K fele és D fele és visszajut a déli sarkpontra.
Nem csak így lehet... Vegyünk az északi sarkpont közelében egy olyan szélességi kört, aminek kerülete osztja az 1km-t, és a kiindulópont ettől 1km-rel délre legyen. Ebben az esetben az É, K, D út triviálisan a kezdőpontba vezet, és akkor mégse pingvint találtunk :-) Vagyis az eredeti feladat is értelmes, nem kell permutálni az irányokat.
S
|
Előzmény: [50] lorybetti, 2003-11-10 22:23:48 |
|
|
|
[52] Bubu | 2003-11-12 01:14:45 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/default.jpg) Rendbonto leszek, elnezest erte... Szoval a billiardgolyos feladat (amit egyebkent anno GY peldakent lekuzdottem:)) egy kulonleges matematikai kepzettseggel nem biro (erettsegi), de egyebkent feletteb intelligens rokonomat "megihlette". Azt allitja, hogy 5 meressel 12 golyobol ki tud valasztani 2 db eltero tomegut! Precizebben: van 12 kulsore egyforma golyo. 10 tomege megegyezik, kettoje elter (hogy milyen "iranyban" es mennyire, azt nem tudjuk). Egy ketkaru merleg segitsegevel valasszuk ki a ket kulonc golyot ot meressel. A megoldasrol sejtelmem sincs, de a hetvegen fogok vele foglalkozni. Aki barmilyen reszeredmenyt/otletet tud, az mailezzen legyen szives!
|
|
[51] lorantfy | 2003-11-11 23:00:51 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/5/1_vlYn.jpg) A tevés feladat megoldása:
Az osztószámok: k , l, m, a tevék száma: n és k < l < m < n.
A végakarat teljesítésének szükséges feltétele a kölcsönkért 1 tevével:
![\frac{n+1}{k}+\frac{n+1}{l}+\frac{n+1}{m}=n](keplet.cgi?k=2B934EA46D7407C6)
Mindkét oldalt elosztva (n+1) –el és –et mindkét oldalhoz hozzáadva:
![\frac{1}{k}+\frac{1}{l}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n+1} = 1](keplet.cgi?k=C3A7672ED05B9DCA)
Ezt az egyenletet kell megoldanunk a 0 < k < l < m < n+1 : egész számok feltétellel.
Látszik, hogy k = 2, ugyanis k = 3 esetén a lehető legkisebb l, m, n+1 értékekre is az összeg 1-nél kisebb:
![\frac13+\frac14+\frac15+\frac16=\frac{59}{60}](keplet.cgi?k=056A73073ADE4C25)
Már csak három ismeretlenünk van:
![\frac{1}{l}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n+1}=\frac12](keplet.cgi?k=4C6223A39893BE8D)
![\frac15+\frac16+\frac18=\frac{59}{120}<\frac12](keplet.cgi?k=2FFAB4E369EEEBDD)
emiatt l lehetséges értékei: l = 3, l = 4
Kezdjük l = 3–mal:
![\frac{1}{m}+\frac{1}{n+1}=\frac16](keplet.cgi?k=A1D245A76C42FF84)
és 6 < m < 12 ( az összeg felének reciprokánál kisebb)
![n+1=\frac{6m}{m-6}=6+\frac{36}{m-6}](keplet.cgi?k=CE82E4C7D38FF1D4)
Tehát (m-6) osztója 36-nak.
m = 7, n+1 = 42, n = 41 jó megoldás,
m = 8, n+1 = 24, n = 23 jó megoldás,
m = 9, n+1 = 18, n = 17 jó megoldás,
m = 10, n+1 = 15, n = 14 NEM jó megoldás, mert nem egész szám.
l = 4 a következő eset
![\frac{1}{m}+\frac{1}{n+1}=\frac14](keplet.cgi?k=44C265B9213F322C)
és 4 < m < 8 ( az összeg felének reciprokánál kisebb)
![n+1=\frac{4m}{m-4}=4+\frac{16}{m-4}](keplet.cgi?k=14878AC40DE4E331)
Tehát (m-4) osztója 16-nak.
m = 5, n+1 = 20, n = 19 jó megoldás,
m = 6, n+1 = 12, n = 11 jó megoldás.
Összesen 5 megoldást találtunk!
|
|
[50] lorybetti | 2003-11-10 22:23:48 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/33/1_7uyd.jpg) Kedves Fálesz Mihály!
Egyetértek Veled, így szeretném csökkenteni a megoldatlan példák számát.A medvés példa- Fizban 22.es hozzászólása A szöveg így szólt: "Elindul Észak felé, és megy 1 km-t. Ezután elfordul Kelet felé, és megint megtesz 1 km-t. Aztán Délnek fordul, és -ki gondolta volna- megtesz még 1 km utat. Ezután a medve visszajut a P pontba."
A feladat megoldása: a feltételek csak úgy teljesülhetnek, ha a medve kezdetben pontosan a déli sarkponton áll, majd halad É fele, K fele és D fele és visszajut a déli sarkpontra. Tartok töle, hogy Fizban rosszul írta az irányokat, mert így a medve fekete-fehér színű és Pingvin névre hallgat. Ha jegesmedvéről lenne szó-ami persze fehér: az irányok sorrendje: D, K és É vagy K, É, D vagy É, D, K (utóbbi két esetben csak érinti az északi sarkpontot)
Értékes megjegyzés: A medve olyan gömbi háromszögben mozog, melynek minden szöge derékszög. Lehet hogy Bolyait is ez ihlette meg?
|
|
[49] Fálesz Mihály | 2003-11-10 18:10:51 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/14/3_YdUs.jpg) Sziasztok,
Kicsit kezdenek elburjánzani a meg nem oldott feladatok. Pillanatynilag a következőkre nincs még teljes megoldás:
-- 2. feladat (9 pont), 2. hozzászólás
-- 3. feladat (emberevők) [3]
-- 5. feladat (100 láda pénz) [6]
-- milyen színű a medve [22]
-- tevék [26]
-- Rubik-hasáb [43]
-- mekkora az EDB szög [46-47]
Összesen 7, ami túl sok. Azt javaslom, hogy most egy darabig ne írjunk új feladatokat, inkább ezekere lássunk megoldást, és a továbbiakban is törekedjünk arra, hogy ne legyen egyszerre - mondjuk - háromnál több megoldatlan feladat.
F.M.
|
|
[48] Sirpi | 2003-11-10 14:18:59 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/13/4_Dwus.jpg) Ez a szummafelcserélés tökéletes megoldás, gratula, én is így csináltam (mellesleg azért nem így adtam fel, mert így sokkal könnyebb, csupán a 2, 3, 5, 8 kitevőket kivéve szerintem nehezebb feladatot kapunk.
|
Előzmény: [40] Pach Péter Pál, 2003-11-07 23:14:59 |
|
[47] lorantfy | 2003-11-10 11:21:06 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/5/1_vlYn.jpg) Egy ábra a lenti feladathoz. (Imádom az Euklides programot!)
|
![](https://www.komal.hu/forum/kep/abra/c1/70/7d/e9c7475ea14c6213d0809bd354-5.jpg) |
|
[46] jenei.attila | 2003-11-10 10:44:46 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/default.jpg) Egy geometria feladat: Az ABC egyenlő szárú háromszög AB alapon fekvő szögei 80 fokosak. A-ból az alappal 60 fokos szöget bezáró egyenes a BC szárat E pontban, B-ből az alappal 70 fokos szöget bezáró egyenes az AC szárat D pontban metszi. Mekkora az EDB szög?
|
|
[45] Hajba Károly | 2003-11-10 01:19:09 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/53/0_ZtXg.jpg) > köszönöm, hogy ilyen szép táblázatos formában feltetted az eredményt
Tanulom a TeX-et. :o)
> Te biztosan emlékszel még a RUBIK kockára
Mi az, hogy emlékszem! Engem a gimi 3. osztályában ért (ma 11. o.), s a kockám nemegyszer a tanári asztalon vészelte át az óra második felét több más kockával egyetemben. Így az ábrád öt percnyi tanulmányozása után rájöttem a "trükk"-re, de hagyok mást is gondolkodni.
|
Előzmény: [43] lorantfy, 2003-11-08 15:50:59 |
|
[44] Lóczi Lajos | 2003-11-09 16:21:43 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/41/1_Hti1.jpg) Valóban, ez így szép és jó. Utólag természetesen a "mi" formulánkat is megtaláltam, pl. a http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html oldalon ez a (23)-as formula :-) Érdemes megnézni, van néhány szép ábra (és csaknem 100 egyéb dzeta-képlet)...
|
Előzmény: [40] Pach Péter Pál, 2003-11-07 23:14:59 |
|
[43] lorantfy | 2003-11-08 15:50:59 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/5/1_vlYn.jpg) Kedves Károly!
Gratulálok a megoldáshoz és köszönöm, hogy ilyen szép táblázatos formában feltetted az eredményt!
Te biztosan emlékszel még a RUBIK kockára és remélem, hogy a fiatalabbak is ismerik. Nekem nagy sikerélmény volt, hogy meg tudtam oldani. 3 napom ment rá egy téli vizsgaidőszakban és meg is lett az eredménye, 4-es lett az analízis vizsgám… A következő nyáron Angliában jártam és ott lehetett kapni a Rubik kocka mindenféle változatát. Vettem is egy nyolcszög alapú hasáb alakút és összekeverés után a begyakorolt transzformációkkal próbáltam visszaforgatni az alaphelyzetbe. Rejtélyes módon az alábbi eredményre jutottam: egy élközépen lébő kocka megfordult a többi mind a helyére került. 9. feladat : Hogyan lehetséges ez?
|
![](https://www.komal.hu/forum/kep/abra/xx/6a7f0c3ce0d8636afcbcc50100a9cc91.jpg) |
|
|
[41] lorantfy | 2003-11-08 00:39:03 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/5/1_vlYn.jpg) Kedves Fórumosok !
Örülök, hogy ilyen sokan foglalkoztatok a biliárdgolyós példával, még idemásolok egy megoldást, ami felhasználja ugyan az előbbi mérés eredményét, de talán annak aki később idetéved érthetőbb:
A 12 golyót 3 4-es csoportra bontom.
OOOO OOOO OOOO
Két 4-es csoportot összehasonlítok a mérleggel (1. mérés)
OOOO -- OOOO
1.1. Egyenlők: ekkor a maradék 4 között van az eltérő
OOOO = OOOO HHHH
Veszek 2-t az első 8 golyó közül (ezek jók) és 2-t a maradék 4-ből
OO -- HH HH
Összemérem őket (2. mérés),
1.2. Ha lebillen a mérleg akkor a mérlegen lévő kettő (HH) közül a 3. méréssel eldöntöm melyik az eltérő golyó.
1.3. Ha egyenlő a 2. mérés eredménye akkor a nem mért 2 közül (HH) döntök a 3. méréssel. (Egyiket összemérem egy jó golyóval)
2.1. Ha a két 4-es csoport összemérésekor lebillen a mérleg. Ekkor amerre lebillent azt a 4 golyót N betűvel jelölöm ( ezek között lehet egy nehezebb)a másik oldalon lévő 4-et K betűvel jelölöm (ezek között lehet egy könnyebb)
Pl.: KKKK < NNNN OOOO
2.2. Bal oldalra felteszek a mérlegre 3 db K jelű golyót és 1 db N jelűt, jobb oldalra pedig 1 db (a megmaradt) K jelűt és a 3 db biztosan jó golyót. (Még 3 db N jelű és egy jó (O) marad ki)
KKKN -- KOOO NNN O
Nézzük az eseteket:
3.1. Ha a mérleg jobbra billen le. Ekkor a bal oldali 3 K közül 1 golyó könnyebb.
KKKN < KOOO NNN O
Ezek közül egy méréssel tudok dönteni, hiszen tudom, hogy a hibás golyó könnyebb. Kettőt összemérek, amelyik felemelkedik az a hibás. Ha egyenlő a kettő összemért, akkor a 3. a hibás golyó.
3.2. Ha a mérleg egyensúlyban marad akkor a kimaradt 3 db N jelű golyó
KKKN = KOOO NNN O
között van egy nehezebb, amit a 3. méréssel az előzőhöz hasonlóan el lehet dönteni.
3.3. Ha a mérleg balra billen ki, akkor ezt okozhatja a bal oldali N jelű golyó vagy a jobb oldalon lévő K jelű golyó.
KKKN > KOOO NNN O
Ezt a 3. méréssel könnyen el lehet dönteni, ha pl. a K jelűt összemérem egy jó golyóval. Ha felemelkedik akkor ez a hibás, ha egyenlők, akkor az N jelű.
|
|
[40] Pach Péter Pál | 2003-11-07 23:14:59 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/82/0_TS2r.jpg) A 8. feladatra írok megoldást, úgyhogy, aki még nem oldotta meg (és szeretne rajta gondolkozni), ne olvassa tovább. Tekintsük a következő átalakításokat:
![\sum_{k=2}^{\infty} (\zeta(k)-1)=\sum_{k=2}^{\infty} \left(\sum_{n=2}^{\infty} \frac1 {n^k}\right)=\sum_{n=2}^{\infty} \left(\sum_{k=2}^{\infty} \frac1 {n^k}\right)=\sum_{n=2}^{\infty} \frac1 {n(n-1)}=](keplet.cgi?k=963E9C572E207942)
![=\sum_{n=2}^{\infty} \left (\frac1 {n-1}-\frac1 {n} \right)=1](keplet.cgi?k=C775A2694028D686)
Pozitív számokat összegzünk, és a határérték valóban létezik (olvassuk az átalakításokat hátulról visszafelé), így nem "csaltunk", amikor megcseréltük a két szummát. Ezen kívül a mértani sor összegképletét, és egy ún. "teleszkópos trükköt" alkalmaztunk.
Az előbb bizonyított állítás nyilvánvaló következménye, hogy
![\sum_{k=2}^N (\zeta (k)-1) <1,](keplet.cgi?k=66395540CDE4D3E1)
ugyanis az előbbi összegnek van olyan tagja, ami ebben az összegzésben nem szerepel. (Mint már megállapítottuk, minden tag pozitív: )
Pach Péter Pál
|
Előzmény: [30] Lóczi Lajos, 2003-11-05 23:59:16 |
|
[39] lorantfy | 2003-11-07 09:56:01 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/5/1_vlYn.jpg) A biliárdgolyós példa alábbi megoldását Gáti Beatrix küldte nekem.
|
![](https://www.komal.hu/forum/kep/abra/b9/26/19/03132d54e97ce9aa473a96a6d4-5.jpg) |
|
[38] lorantfy | 2003-11-06 23:19:20 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/5/1_vlYn.jpg) Kedves Csillag! Nagyon szép a megoldásod, gratulálok! Holnap felteszek hozzá egy táblázatot, hogy mikor melyik golyó jön ki, igy mindenki ellenőrizheti, hogy jó is. Elemben a tevés példán gondolkodók még keresgélhetnek, ha van idejük, mert én 5 megoldást találtam.
|
|
[37] Csillag | 2003-11-06 16:02:59 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/30/0_rouR.jpg) A billiárdgolyós probléma mindkét nehezített változatát megoldja a következő három mérés. Ezzel 12 golyó esetén meghatározható, hogy melyik volt hibás és hogyan, 13 golyó esetén pedig, hogy melyik volt hibás: 1.mérés: (x1,x2,x3,x4) összehasonlítása (x5,x6,x7,x8)-cal 2.mérés: (x1,x2,x5,x11) összehasonlítása (x3,x6,x9,x10)-zel 3.mérés: (x1,x6,x9,x11) összehasonlítása (x3,x4,x7,x12)-vel
|
Előzmény: [20] Kós Géza, 2003-11-05 12:21:41 |
|
[36] Kós Géza | 2003-11-06 14:24:35 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/3/4_q8Fa66CY.jpg) Kedves Csimby,
Amit írtatok, az mindenképpen megérdemel egy fél Túró Rudit, de jobb lenne egy szép, világos, kerek megoldássá átírni. Ehhez pontosabban kell kezelni a falvak és a hittérítők lehetséges állapotait.
|
Előzmény: [23] Csimby, 2003-11-05 18:21:35 |
|
[35] lorantfy | 2003-11-06 14:18:01 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/5/1_vlYn.jpg) Az eredeti tevés példa úgy szólt, hogy 11 tevét örökölnek és hogyan oszthatnák el ha a legidősebb felét, a középső harmadát, a legkisebb hatodát örökölte. És a bölcs kádi javaslatára kölcsönkérnek egy tevét, amit az osztozkodás után vissza is adnak.
|
|
|
|