Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Az A. 571. feladat (2012. október)

A. 571. Egy háromszög oldalainak hossza a, b és c. Bizonyítsuk be, hogy

\sqrt{\frac{(2a+c)(2b+c)}{(3a+b)(3b+a)}} + \sqrt{\frac{(2b+a)(2c+a)}{(3b+c)(3c+b)}} + \sqrt{\frac{(2c+b)(2a+b)}{(3c+a)(3a+c)}} < \frac52.

Javasolta: Daniel Campos, San Jose, Costa Rica

(5 pont)

A beküldési határidő 2012. november 12-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat. Vegyük észre, hogy egyenlőség áll abban az elfajuló esetben, ha a,b,c közül kettő egyenlő, a harmadik pedig 0.

Megmutatjuk, hogy

\sqrt{\frac{(2a+c)(2b+c)}{(3a+b)(3b+a)}} < \frac{a+b+3c}{2(a+b+c)}. (1)

(Ebben a becslésben is egyenlőség áll az említett elfajuló esetben.) Valóban,

\left(\frac{a+b+3c}{2(a+b+c)}\right)^2 - \frac{(2a+c)(2b+c)}{(3a+b)(3b+a)} =

= \frac{(a+b-c)\Big(8(a+b)^2c+20(a+b)c^2+4c^3+(3a+3b+5c)(a-b)^2\Big)}{4(a+b+c)^2(3a+b)(3b+a)} > 0.

Az a,b,c számok ciklikus cseréjével \sqrt{\frac{(2b+a)(2c+a)}{(3b+c)(3c+b)}}<\frac{3a+b+c}{2(a+b+c)} és \sqrt{\frac{(2c+b)(2a+b)}{(3c+a)(3a+c)}}<\frac{a+3b+c}{2(a+b+c)}. Ezek és (1) összege kiadja a feladat állítását.

Statisztika:

11 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Bodnár Levente, Cyril Letrouit, Herczeg József, Janzer Olivér, Kúsz Ágnes, Maga Balázs, Nagy Róbert, Omer Cerrahoglu, Williams Kada.
0 pontot kapott:2 versenyző.

A KöMaL 2012. októberi matematika feladatai