Problem B. 4341. (February 2011)

B. 4341. Find all pairs f(x), g(x) of polynomials of real coefficients such that f(x+1)g(x-1)-g(x+1)f(x-1)=1.

(Suggested by P. Kutas, Budapest)

(5 pont)

Deadline expired on March 10, 2011.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az $\displaystyle f(x)g(x-2)-g(x)f(x-2)=1$ egyenlőségből az $\displaystyle f(x+2)g(x)-g(x+2)f(x)=1$ egyenlőséget kivonva kapjuk, hogy

$\displaystyle f(x)(g(x-2)+g(x+2))=g(x)(f(x-2)+f(x+2)).$

A legelső összefüggés szerint az $\displaystyle f(x)$ és $\displaystyle g(x)$ polinomoknak nem lehet első- vagy magasabbfokú közös osztója; speciálisan pedig egyik sem lehet a 0 polinom. Az $\displaystyle f$ és $\displaystyle g$ polinomok tehát egymáshoz relatív prímek, ezért az $\displaystyle f(x)$ polinom csak úgy lehet osztója a $\displaystyle g(x)(f(x-2)+f(x+2))$ polinomnak, ha osztja az $\displaystyle f(x-2)+f(x+2)$ polinomot. Ez utóbbi polinom fokszáma megegyezik az $\displaystyle f$ polinom fokszámával, főegyütthatója pedig kétszer akkora, mint az $\displaystyle f$ polinomé. Ezért a két polinom hányadosa 2, vagyis

$\displaystyle f(x-2)+f(x+2)=2f(x), \quad f(x+2)-f(x)=f(x)-f(x-2).$

Ez utóbbi összefüggés persze teljesül ha az $\displaystyle f(x)$ polinom konstans, ha pedig $\displaystyle f$ foka legalább 1, akkor a $\displaystyle h(x)=f(x)-f(x-2)$ előírással definiált $\displaystyle h$ polinomra, amely $\displaystyle f$-nél eggyel kisebb fokú, $\displaystyle h(x+2)=h(x)$ teljesül. Mivel a $\displaystyle h$ polinom végtelen sok helyen ugyanazt az értéket veszi fel, csakis konstans polinom lehet. Azt kaptuk tehát, hogy a nemnulla $\displaystyle f$ polinom legfeljebb elsőfokú; az $\displaystyle f$ és $\displaystyle g$ polinomok szerepét felcserélve pedig ugyanez derül ki a $\displaystyle g$ polinomról is.

Ezek után már nem nehéz meghatározni az összes megfelelő polinompárt. Az $\displaystyle f(x)=ax+b$ és a $\displaystyle g(x)=cx+d$ polinomokból álló pár (ahol $\displaystyle a$ vagy $\displaystyle c$ értéke akár nulla is lehet) pontosan akkor lesz megoldás, ha (mint polinomok)

$\displaystyle (ax+a+b)(cx-c+d)-(cx+c+d)(ax-a+b)=1.$

Rövid számolás mutatja, hogy a bal oldalon álló polinom igazából a konstans $\displaystyle 2ad-2bc$ polinom. A szükséges és elégséges feltétel tehát $\displaystyle ad-bc=-1/2$; ilyen polinompár persze végtelen sok van.

Statistics:

7 students sent a solution.
5 points:	Dudás 002 Zsolt, Lenger Dániel, Nagy Róbert, Perjési Gábor.
1 point:	1 student.
0 point:	2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2011