Problem B. 4341. (February 2011)

B. 4341. Find all pairs f(x), g(x) of polynomials of real coefficients such that f(x+1)g(x-1)-g(x+1)f(x-1)=1.

(Suggested by P. Kutas, Budapest)

(5 pont)

Deadline expired on March 10, 2011.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az \(\displaystyle f(x)g(x-2)-g(x)f(x-2)=1\) egyenlőségből az \(\displaystyle f(x+2)g(x)-g(x+2)f(x)=1\) egyenlőséget kivonva kapjuk, hogy

\(\displaystyle f(x)(g(x-2)+g(x+2))=g(x)(f(x-2)+f(x+2)).\)

A legelső összefüggés szerint az \(\displaystyle f(x)\) és \(\displaystyle g(x)\) polinomoknak nem lehet első- vagy magasabbfokú közös osztója; speciálisan pedig egyik sem lehet a 0 polinom. Az \(\displaystyle f\) és \(\displaystyle g\) polinomok tehát egymáshoz relatív prímek, ezért az \(\displaystyle f(x)\) polinom csak úgy lehet osztója a \(\displaystyle g(x)(f(x-2)+f(x+2))\) polinomnak, ha osztja az \(\displaystyle f(x-2)+f(x+2)\) polinomot. Ez utóbbi polinom fokszáma megegyezik az \(\displaystyle f\) polinom fokszámával, főegyütthatója pedig kétszer akkora, mint az \(\displaystyle f\) polinomé. Ezért a két polinom hányadosa 2, vagyis

\(\displaystyle f(x-2)+f(x+2)=2f(x), \quad f(x+2)-f(x)=f(x)-f(x-2).\)

Ez utóbbi összefüggés persze teljesül ha az \(\displaystyle f(x)\) polinom konstans, ha pedig \(\displaystyle f\) foka legalább 1, akkor a \(\displaystyle h(x)=f(x)-f(x-2)\) előírással definiált \(\displaystyle h\) polinomra, amely \(\displaystyle f\)-nél eggyel kisebb fokú, \(\displaystyle h(x+2)=h(x)\) teljesül. Mivel a \(\displaystyle h\) polinom végtelen sok helyen ugyanazt az értéket veszi fel, csakis konstans polinom lehet. Azt kaptuk tehát, hogy a nemnulla \(\displaystyle f\) polinom legfeljebb elsőfokú; az \(\displaystyle f\) és \(\displaystyle g\) polinomok szerepét felcserélve pedig ugyanez derül ki a \(\displaystyle g\) polinomról is.

Ezek után már nem nehéz meghatározni az összes megfelelő polinompárt. Az \(\displaystyle f(x)=ax+b\) és a \(\displaystyle g(x)=cx+d\) polinomokból álló pár (ahol \(\displaystyle a\) vagy \(\displaystyle c\) értéke akár nulla is lehet) pontosan akkor lesz megoldás, ha (mint polinomok)

\(\displaystyle (ax+a+b)(cx-c+d)-(cx+c+d)(ax-a+b)=1.\)

Rövid számolás mutatja, hogy a bal oldalon álló polinom igazából a konstans \(\displaystyle 2ad-2bc\) polinom. A szükséges és elégséges feltétel tehát \(\displaystyle ad-bc=-1/2\); ilyen polinompár persze végtelen sok van.

Statistics:

7 students sent a solution.
5 points:	Dudás 002 Zsolt, Lenger Dániel, Nagy Róbert, Perjési Gábor.
1 point:	1 student.
0 point:	2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2011