Beszámoló a 46. Nemzetközi Matematikai Diákolimpiáról

Az idei Nemzetközi Matematikai Diákolimpiát július 8-19. között Mexikóban, Mérida városában rendezték meg. A versenyen 91 ország 513 diákja vett részt, ami minden eddigi részvételi számot messze felülmúl.

Az alábbi országok küldtek csapatokat (ezek általában hattagúak voltak, ennél kisebb létszám esetén az országnév után zárójelben jelzem, hogy hány diák alkotta a csapatot):

Albánia, Amerikai Egyesült Államok, Argentína, Ausztrália, Ausztria, Azerbajdzsán, Banglades, Belgium, Belorusszia, Bolívia (2), Bosznia-Hercegovina, Brazília, Bulgária, Ciprus, Costa Rica, Csehország, Dánia, Dél-Afrika, Dél-Korea, Ecuador, Észtország, Finnország, Franciaország, Fülöp-szigetek, Görögország, Grúzia, Guatemala (3), Hollandia, Hongkong, Horvátország, India, Indonézia, Irán, Írország, Izland, Izrael, Japán, Kanada, Kazahsztán, Kína, Kirgizisztán, Kolumbia, Kuba (4), Kuvait (5), Lengyelország, Lettország, Liechtenstein (3), Litvánia, Luxemburg (2), Macedónia, Magyarország, Makaó, Malajzia, Marokkó, Mexikó, Moldova, Mozambik (5), Nagy-Britannia, Németország, Norvégia, Olaszország, Oroszország, Örményország, Pakisztán, Paraguay, Peru, Portugália, Puerto Rico, Románia, Salvador, Spanyolország, Sri Lanka, Svájc, Svédország, Szaúd-Arábia (5), Szerbia és Montenegró, Szingapúr, Szlovákia, Szlovénia, Tádzsikisztán (3), Tajvan, Thaiföld, Törökország, Trinidad és Tobago, Tunézia (3), Türkmenisztán (3), Új-Zéland, Ukrajna, Uruguay (5), Venezuela (2), Vietnam.

Az új közép-amerikai résztvevőkön kívül mindenképpen említést érdemel olyan nagy lélekszámú országok megjelenése, mint Pakisztán és Banglades.

A versenyen szokás szerint két egymás utáni napon négy és fél óra alatt 3-3 feladatot kellett megoldani. (A feladatokat alább közöljük.) Mindegyik feladat helyes megoldásáért 7 pont járt, így egy versenyző maximális teljesítménnyel 42 pontot szerezhetett. (Ez 16 diáknak sikerült: 4 kínainak, 2-2 tajvaninak és japánnak és további 8 ország 1-1 versenyzőjének.) A verseny befejezése után megállapított ponthatárok szerint aranyérmet a 35-42 pontot elért, ezüstérmet a 23-34 pontos, bronzérmet pedig a 12-22 ponttal rendelkező tanulók szereztek. Kiadott a zsűri egy különdíjat is: Iurie Boreico-nak (Moldovai Köztársaság), a 3. feladat kiemelkedően szép megoldásáért.

A magyar csapatból

Paulin Roland (Fazekas Mihály Főv. Gyak. Gimn., 11. o.t.) 38 ponttal és

Strenner Balázs (Székesfehérvár, Teleki Blanka Gimn., 12. o.t.) 35 ponttal aranyérmet,

Jankó Zsuzsanna (Szeged, Radnóti Miklós Gimn., 11. o.t.) 34 ponttal,

Steller Gábor (Budapest, Radnóti Miklós Gimn., 12. o.t.) 28 ponttal és

Erdélyi Márton (Fazekas Mihály Főv. Gyak. Gimn., 11. o.t.) 27 ponttal ezüstérmet,

Mánfay Máté (Fazekas Mihály Főv. Gyak. Gimn., 12. o.t.) pedig 19 ponttal bronzérmet nyert.

A csapat vezetője Pelikán József (ELTE TTK, Algebra és Számelmélet Tanszék), helyettes vezetője Dobos Sándor (Fazekas Mihály Főv. Gyak. Gimn.) volt.

Az országok (nem-hivatalos) pontversenyében Magyarország a 9-10. helyen végzett. A csapatverseny első 20 helyezettjének sorrendje így alakult (megszerzett pontszámaikkal):

1. Kína 235, 2. USA 213, 3. Oroszország 212, 4. Irán 201, 5. Dél-Korea 200, 6. Románia 191, 7. Tajvan 190, 8. Japán 188, 9-10. Magyarország és Ukrajna 181, 11. Bulgária 173, 12. Németország 163, 13. Nagy-Britannia 159, 14. Szingapúr 145, 15. Vietnam 143, 16. Csehország 139, 17. Hongkong 138, 18. Belorusszia 136, 19. Kanada 132, 20. Szlovákia 131.

Szeretnék köszönetet mondani az egyes versenyzők tanárainak, akik a következők voltak:

Erdélyi Márton: Táborné Vincze Márta, Hraskó András, Pósa Lajos, Dobos Sándor.
Jankó Zsuzsanna: Schultz János, Mike János, Pósa Lajos.
Mánfay Máté: Laczkó László, Pósa Lajos.
Paulin Roland: Táborné Vincze Márta, Hraskó András, Pósa Lajos.
Steller Gábor: Morvai Éva, Juhász Péter.
Strenner Balázs: Szakály Edit, Szabó Gábor, Dobos Sándor.

Külön szeretnék köszönetet mondani Dobos Sándornak, aki egész évben vezette az olimpiai felkészítést.

A nem-matematikai programok között voltak előre tervezettek és előre nem tervezettek is. Az előbbiek közé tartozott a világhírű maja romváros, Chichén Itzá meglátogatása, ami a párás hőség dacára is csodálatos élmény volt. Az utóbbiak közé számított viszont az ,,Emily'' nevű hurrikán feltűnése, ,,aki'' miatt a záróünnepséget későbbre kellett halasztani, a záróbankett pedig teljesen elmaradt. (Emily az utolsó pillanatban irányt változtatott, így vérbeli hurrikán helyett csak egy kiadós trópusi viharban lett részünk.)

A jövő évi diákolimpiát Szlovénia fővárosában, Ljubljanában rendezik, július 6-18. között.

Pelikán József

A 46. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia feladatai

Első nap

1. Adott hat pont az ABC egyenlőoldalú háromszög oldalain: A₁ és A₂ a BC oldalon, B₁ és B₂ a CA oldalon, C₁ és C₂ az AB oldalon, úgy, hogy ezek a pontok egy A₁A₂B₁B₂C₁C₂ konvex hatszög csúcsai, amelynek az oldalai egyenlő hosszúságúak. Bizonyítsuk be, hogy az A₁B₂, B₁C₂ és C₁A₂ egyenesek egy ponton mennek át.

2. Legyen a₁, a₂, ... egész számoknak egy olyan sorozata, aminek van végtelen sok pozitív tagja és végtelen sok negatív tagja is. Tudjuk, hogy minden pozitív egész n-re az a₁, a₂,..., a_n számok n-nel osztva n különböző maradékot adnak. Bizonyítsuk be, hogy minden egész szám pontosan egyszer fordul elő a sorozatban.

3. Legyenek x, y, z pozitív valós számok, amelyekre teljesül xyz \(\displaystyle \ge\)1. Bizonyítsuk be, hogy fennáll az

\(\displaystyle \frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2}+\frac{y^5-y^2}{y^5+z^2+x^2}+\frac{z^5-z^2}{z^5+ x^2+y^2}\ge0 \)

egyenlőtlenség.

Második nap

4. Tekintsük azt az a₁, a₂, ... sorozatot, amit az

a_n = 2ⁿ + 3ⁿ + 6ⁿ -1   (n=1,2,...)

képlet definiál. Határozzuk meg az összes olyan pozitív egész számot, ami relatív prím a sorozat minden tagjához.

5. Az ABCD konvex négyszög BC és AD oldalai egyenlő hosszúságúak és nem párhuzamosak. Legyenek E, illetve F rendre a BC, illetve AD oldal olyan belső pontjai, amikre BE=DF teljesül. Az AC és BD egyenesek metszéspontja P, a BD és EF egyenesek metszéspontja Q, az EF és AC egyenesek metszéspontja R. Tekintsük az összes PQR háromszöget, amint E és F változnak. Bizonyítsuk be, hogy ezen háromszögek körülírt köreinek van egy P-től különböző közös pontja.

6. Egy matematikaversenyen 6 feladatot kellett a versenyzőknek megoldani. Bármelyik két feladatra igaz az, hogy a versenyzők \(\displaystyle \frac25\) részénél többen oldották meg mindkét feladatot. Senki nem oldotta meg mind a 6 feladatot. Bizonyítsuk be, hogy volt legalább 2 olyan versenyző, aki pontosan 5 feladatot oldott meg.

Az olimpia honlapja: http://erdos.fciencias.unam.mx/