Surányi János professzor úrnak a Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok volt főszerkesztőjének és szerkesztőbizottsági elnökének a tiszteletére 80. születésnapja alkalmából barátai, tanítványai és tisztelői 1998. május 25-én az MTA Matematikai Kutató Intézetében ünnepi ülésszakot rendeztek. A most következő cikk az ott elhangzott előadás kibővített változata.

Binomiális együtthatók és teljes hatványok

Bevezetés

Régi, sokat vizsgált diofantikus problémák voltak a következők: egymás utáni egészek szorzata, illetve binomiális együttható mikor lehet teljes hatvány? Számos részeredmény után az első kérdést 1975-ben, a másodikat 1997-ben sikerült teljesen megválaszolni. A dolgozat első részében az első probléma történetének rövid áttekintését adjuk. A második részben részletesebben foglalkozunk a binomiális együtthatókkal kapcsolatos problémával és annak megoldásával. Végül a harmadik részben a két probléma egy közös általánosításáról és annak 1998-ban nyert megoldásáról számolunk be röviden.

1. Egymásra következő egész számok szorzata

A számelmélet egyik híres kérdése volt, hogy lehet-e egymásra következő pozitív egész számok szorzata teljes hatvány. Más megfogalmazásban: mik az

(1)   n(n+1)...(n+k-1)=x^l

diofantikus egyenlet pozitív egész megoldásai a k2, x2, l2 feltételek mellett? A k=2 esetben nyilván nincs megoldás. A probléma C. Goldbachig nyúlik vissza, aki 1724-ben egy D. Bernoullihoz írt levélben megjegyezte, hogy az (1) egyenletnek k=3, l=2 esetén nincs megoldása. Valóban, ha volna ilyen megoldás, úgy a bal oldalt (n+1)[(n+1)²-1] alakba írva az következne, hogy (n+1)²-1 négyzetszám, ami nem lehetséges. Hasonló okoskodás alkalmazható a k=3, l>2 esetre is.

Az 1820-as évekből származik az a sejtés, hogy az (1) egyenletnek egyáltalán nincs megoldása. A sejtéssel már a múlt században is sokan foglalkoztak. Számos speciális eredmény született azokban az esetekben, amikor k értéke ,,kicsi'' és l=2 vagy l=3. Az érdeklődő olvasó ezek ismertetését megtalálhatja L. E. Dickson ,,History of the Theory of Numbers'' című könyvének II. kötetében, a 679-680. oldalon (l. [1]).

1917-ben S. Narumi bebizonyította a sejtést a k202, l=2 értékekre, Szekeres György pedig a 30-as években megmutatta, hogy (1)-nek nincs olyan megoldása, melyre k8.

1939-ben Erdős Pál és O. Rigge egymástól függetlenül bebizonyították a sejtést l=2-re. Bizonyításuk meglehetősen komplikált, szellemes elemi okoskodásokon alapult. Egyebek között felhasználták Sylvesternek azt a tételét, hogy ha n>k2 egész számok, úgy

P(n(n+1)...(n+k-1))>k.

Itt P(a) egy a>1 egész szám legnagyobb prímosztóját jelöli.

1940-ben Erdős Pál és C. L. Siegel közösen bebizonyították a sejtést minden elegendően nagy k-ra. Bizonyításukban diofantikus approximációs módszereket használtak, de magát a bizonyítást soha nem publikálták. 1955-ben Erdős erre a tételre egy másik, elemi bizonyítást adott. Erdős módszerét továbbfejlesztve, végül 1975-ben Erdős és J. L. Selfridge a sejtést teljes általánosságban igazolták.

1. Tétel. (Erdős P. és J. L.Selfridge [2].) Az (1) egyenletnek nincs megoldása.

Érdekes megjegyezni, hogy a komplikált és igen szellemes elemi bizonyítás jelentős mennyiségű numerikus számítást is igényelt. A témakör részletesebb tárgyalását adja W. Narkiewicz ,,Classical problems in number theory'' című könyvében (l. [7]).

2. Binomiális együtthatók

Az (1) egyenlettel rokon diofantikus egyenlet

(2)   ,

ahol a megoldásokat a k2, nk+1, x2, l2 tulajdonságú egész számok körében keressük. Itt az nk+1 feltétel lényegében nem jelent megszorítást. Valóban, az

összefüggést felhasználva, valamint k-t és n-1-et felcserélve a (2) egyenletre vonatkozó eredmények az nk esetre is alkalmazhatók.

A k=l=2 esetben az egyenlet (n+1)n=2x² alakra hozható. Ekkor

vagy n=u²,   n+1=2v²,

vagy n=2v²,   n+1=u²,

ahol u, v pozitív egészek. Innen az

u²-2v²=1

Pell-egyenletekre jutunk, melyeknek végtelen sok u, v pozitív egész megoldásuk van. Így ebben az esetben (2)-nek is végtelen sok megoldása van.

A k=3, l=2 esetet páratlan n-re A. J. J. Meyl (1878), páros n-re G. N. Watson (1919) intézte el. Eredményeikből következik, hogy ebben az esetben (2) egyetlen megoldása n=48, x=140, azaz

=140².

Erdős egy 1939-ben megjelent dolgozatában fogalmazta meg azt a sejtést, hogy l>2 esetén a (2) egyenletnek nincs megoldása. Ugyanebben a dolgozatban ezt az állítást az l=3 és a k2^l esetekben igazolta. Az l=4, 5 eseteket Obláth Richárdnak sikerült elintéznie 1948-ban.

Az (1) egyenletre korábban alkalmazott elemi módszere segítségével Erdős 1951-ben bebizonyította, hogy k4 esetén a (2) egyenletnek nincs megoldása. A bizonyítás igen szép és szellemes, magyar nyelven is elérhető Erdős Pál és Surányi János ,,Válogatott fejezetek a számelméletből'' című könyvében (l. [3]).

Az Erdős-Surányi könyv 1960-ban jelent meg először. Élvezetes stílusa, bizonyításainak szépsége, a könyvben felvetett sok nyitott probléma rendkívül népszerűvé tették a könyvet a számelméletet kedvelők körében. A jelen dolgozat szerzője a könyv hatására kezdett a 60-as évek elején, egyetemista korában az Erdős-sejtés még nyitott k=2, 3 esetével foglalkozni. Első publikációja is ezzel kapcsolatos eredményeket tartalmazott.

Az Erdős-Surányi könyv első kiadásának valamennyi példánya hamar elfogyott a könyvesboltokban. 1996-ban jelent meg a könyv második, kibővített kiadása (l. [3]). Ennek angol nyelvű változata sajtó alatt van a Springer kiadónál.

Visszakanyarodva az Erdős-sejtéshez, 1951 után nyitott maradt a k=2 és a k=3 eset. Kiderült, hogy Erdős elemi módszere a k=2 és 3 esetre nem alkalmazható. Érdekes megjegyezni, hogy míg az (1) egyenletben a k=2 és a k=3 esetek bizonyultak a legkönnyebbeknek, a (2) egyenletnél a helyzet ennek éppen az ellenkezője, a probléma 1996-ig ellenállt minden próbálkozásnak. Ám szóljunk néhány szót az előzményekről, amelyek később igen hasznosnak bizonyultak a sejtés teljes általánosságban való bizonyítása során.

Erdős és Obláth eredményei következtében elég azzal az esettel foglalkozni, amikor (2)-ben k=2 vagy 3 és l>5 prímszám, amit a továbbiakban k-ról és l-ről fel is tételezünk.

1963-ban sikerült bebizonyítanom, hogy ha a (2) egyenlet k=2 esetén egy l>5 prímre nem megoldható, úgy k=3-ra és a tekintett l-re csak akkor lehet megoldható, ha

(3)   3^l-11 (mod l²).

Ez a kongruencia a kis Fermat-tétel szerint (mod l²) helyett (mod l) minden l>3 prímre teljesül. Tudjuk viszont, hogy a 2³⁰-nál kisebb számok körében (3) csak az l=11 és az l=1 006 003 prímszámokra áll fenn. Így a nem túl nagy l prímek esetén a k=3 esetet lényegében sikerült a k=2 esetre visszavezetni.

R. Tijdeman 1976-ban az effektív Baker-módszer felhasználásával bebizonyította, hogy a (2) egyenletnek k=2 és k=3 esetén csak véges sok megoldása lehet, és ezek a megoldások elvileg meghatározhatók. Tijdeman bizonyítása egy olyan nagy felső korlátot szolgáltatott az n, x, l ismeretlenekre, hogy a korlát alatti esetleges megoldásokat még a mai modern számítógépekkel sem lehetne megkeresni. A Baker-módszer egy élesebb változatát használva N. Terai 1994-ben bebizonyította, hogy a (2) egyenletnek a k=2 és 3 esetekben csak akkor lehet megoldása, ha l<4250.

A sejtés teljes bizonyításához az egyébként igen hatékony, mély és széles körben alkalmazható Baker-módszer önmagában nem bizonyult elegendőnek. Ehhez szükség volt a

(4)   x^l+y^l=cz^l

általánosított Fermat-féle egyenlettel kapcsolatos néhány mély eredményre. Itt l>5 prímszám, c1 egész szám, x, y, z pedig 0-tól különböző, relatív prím egész ismeretlenek.

Az olvasó számára bizonyára ismert, hogy Fermat híres sejtését A. Wiles amerikai matematikus 1995-ben bebizonyította, azaz megmutatta, hogy a (4) egyenletnek c=1 esetén nincs megoldása. Wiles (részben más matematikusok közreműködésével) egy nehéz és mély módszert dolgozott ki a Fermat-sejtés bizonyítására, amiről kiderült, hogy alkalmasan továbbfejlesztve bizonyos más, 1-nél nagyobb c értékek esetén is sikerrel alkalmazható. H. Darmon és L. Merel egy 1997-ben megjelent dolgozatukban megmutatták, hogy a (4) egyenletnek c=2 esetén csak triviális megoldásai vannak, amelyekre xyz=1 teljesül. Bár Darmon ás Merel dolgozatukban nem foglalkoztak a (2) egyenletre vonatkozó Erdős-sejtéssel (talán nem is ismerték azt), eredményükből egyszerűen következik, hogy (2) a k=2 esetben nem megoldható. Valóban, ha (2)-nek k=2 mellett volna megoldása, úgy n=y^l, n+1=2z^l vagy n=2z^l, n+1=y^l, azaz

y^l1=2z^l

következne alkalmas 1-nél nagyobb y, z egészekkel, ami a Darmon-Merel tétel szerint nem lehetséges.

Ezt követően sikerült az Erdős-sejtés bizonyításában az utolsó lépést megtenni, a k=3 esetet is elintézni. A fentiekből kitűnik, hogy ehhez tulajdonképpen már csupán egyetlen láncszem hiányzott, az l=11 eset. Ehhez segítséget nyújtott M. A. Bennett és B. M. M. de Weger egy 1997-ben publikált eredménye, mely szerint ha a, b, l pozitív egészek, b>a>1 és 3l<17 vagy l>347, akkor az

|ax^l-by^l|=1

egyenletnek legfeljebb egy pozitív egész x, y megoldása van. A fentieket felhasználva az 1997-ben megjelent [4] dolgozatomban megmutattam, hogy a (2) egyenletnek a k=2 és k=3 esetben nincs megoldása, azaz igaz a következő:

2. Tétel. (Erdős P., k4 eset; H. Darmon és L. Merel, k=2 eset; Győry K., k=3 eset.) A k=l=2 esettől eltekintve a (2) egyenlet egyetlen megoldása (n, k, x, l)=(48, 3, 140, 2), azaz =140².

A 2. Tételt a fenti formában publikáltam a [4] dolgozatomban. Az eddigiekből világos, hogy a tétel a felsorolt matematikusok által nyert részeredmények együtteséből született.

Erdős Pál rendszeres időközönként ellátogatott hozzánk Debrecenbe. Halála előtt tervezte, hogy 1996. október elején ismét meglátogat bennünket. A k=2 és k=3 esetekre a bizonyítást 1996 szeptemberében, Erdős Pál halála után pár nappal találtam. Úgy ismertük Őt, hogy biztosan örült volna a sejtése teljes bizonyításának. A [4] cikket az Ő emlékének dedikáltam.

Darmon és Merel, valamint Bennett és de Weger cikkei 1996-ban még csak megjelenés alatt voltak, ám a szerzők voltak szívesek kézirataikból egy-egy példányt rendelkezésemre bocsátani. És itt jön egy érdekesség: a k=3 eset bizonyításához szükség volt a fentebb ismertetett, 1963-as eredményemre. Ezt az eredményt a külföldi kollégák nem ismerték. Gondolom azért, mert annak idején azt magyarul, a Matematikai Lapokban publikáltam. Emiatt az angol nyelvű [4] dolgozatomban a k=3 esetre egy részletes, teljes bizonyítást adtam, az 1963-as eredményem bizonyítását is beépítve.

A k=3 eset bizonyításának főbb lépései a következők. Ha a k=3 és l>5 prím esetben (2) megoldható és 3|n, vagy 3|n+2, úgy könnyen belátható, hogy , illetve teljes l-edik hatvány, ami a Darmon-Merel tétel miatt nem lehet. Maradt a 3|n+1 eset, amikor

n=2w^l,   n+1=3v^l,   n+2=2^lu^l
vagy n=2^lu^l,   n+1=3v^l,   n+2=2w^l,

ahol n1 és v>1, w>1 egészek. Innen az

(5)   2(w^l1)=3v^l1=(2u)^l

diofantikus egyenletrendszerek adódnak.

Itt szükség volt egy S. Lubelskitől és a jelen szerzőtől származó tételre, mely szerint a (4) egyenletből c>1 esetén (bizonyos technikai feltételek mellett) következik, hogy ha x, y, z megoldás és 3|x-y (Lubelski, 1935) vagy 3|x+y (Győry, 1966), akkor szükségképpen teljesül a (3) kongruencia. Ennek bizonyításához mély algebrai számelméleti eszközökre volt szükség.

Az említett eredmény felhasználásával be lehet bizonyítani, hogy az (5)-ben szereplő diofantikus egyenletrendszerek akármelyikének a megoldhatóságából következik a (3) kongruencia. Továbbá (5)-ből adódóan

|2w^l-3v^l|=1,

aminek v=w=1 megoldása. Ezért l<17 vagy l>347 esetén Bennett és de Weger tétele szerint további megoldás nem létezhet, azaz az (5) egyenletrendszerek a v>1, w>1 feltételek mellett nem megoldhatók. A fennmaradó 17l347 esetekben a (3) kongruencia nem teljesül, így készen vagyunk. Megjegyezzük, hogy itt használhattuk volna Terai eredményét is, ebben az esetben Bennett és de Weger tételét elég az l=11 esetre alkalmazni.

3. Az (1) és (2) egyenletek egy közös általánosítása

Az (1) és (2) egyenletek közös általánosításaként tekintsük most a

(6)   n(n+1)...(n+k-1)=bx^l

egyenletet, ahol n, k, b, x, l valamennyien pozitív egész ismeretlenek és k2, l2, P(b)k, b l-edik hatványmentes. Amennyiben b=1, úgy ez éppen az (1) egyenlet, míg ha b a k! l-edik hatványmentes része, úgy a (2) egyenletet kapjuk. Azt a feltételt, hogy b l-edik hatványmentes, elejthetnénk. Viszont ezen feltétel mellett a (6) jobb oldalának bx^l alakban való felírása egyértelművé válik, ami később hasznosnak fog bizonyulni.

A (6) egyenlettel és annak további általánosításaival (például a dolgozat végén szereplő (7) és (8) egyenletekkel) sokan, közöttük Erdős Pál, T. N. Shorey, R. Tijdeman, N. Saradha, Hajdú Lajos, Brindza Béla, Ruzsa Imre és a szerző foglalkoztak.

Mint fentebb láttuk, a (6) egyenletnek a k=b=l=2 esetben végtelen sok megoldása van.

Elég a (6) egyenlet azon (n, k, b, x, l) megoldásaival foglalkozni, amelyekre P(x)>k. Valóban, adott k-ra a (6) egyenletnek csak véges sok P(x)k tulajdonságú megoldása van, és mindezek könnyen meghatározhatók. Jelöljük ugyanis p^(k)-val a legkisebb olyan prímszámot, melyre p^(k)>k. Sylvester fentebb idézett tételének következménye, hogy P(x)k mellett (n, k, b, x, l) akkor és csak akkor megoldása (6)-nak, ha n{1, 2, ..., p^(k)-k} . Tehát n és így b, x, l tényleg könnyen meghatározható. Vegyük észre, hogy n=1 minden k-ra megoldása (6)-nak, k! mindig felírható bx^l alakban a kívánt tulajdonsággal.

Példa. Könnyen ellenőrizhető, hogy p⁽²⁾=3 és p⁽³⁾=5. Ezért k=2, 3 esetén (6) összes, P(x)k tulajdonságú (n, k, b, x, l) megoldásai:

(1, 2, 2, 1, l 2),    (1, 3, 6, 1, l 2),
(2, 3, 24, 1, l 4),    (2, 3, 6, 2, 2),    (2, 3, 3, 2, 3).

Az Erdős-Selfridge tétel bizonyításának módszerét továbbfejlesztve N. Saradha egy 1997-ben megjelent dolgozatában bebizonyította, hogy k4 esetén a (6) egyenletnek nincs olyan megoldása, amelyre P(x)>k. A bizonyítás a k=2 és 3 esetekre nem alkalmazható.

A Wiles-módszer egy változatával K. A. Ribet 1997-ben megmutatta, hogy a (4) egyenletnek nincs megoldása, amennyiben c a 2-nek 1-nél nagyobb és l-nél kisebb kitevőjű hatványa. A Darmon-Merel-tétel és a Ribet-tétel felhasználásával a szerzőnek [5] újabban sikerült Saradha eredményének megfelelőjét k=2 és k=3-ra is igazolnia. A következő, [5]-ben ilyen formában publikált tétel a (6) egyenlet teljes megoldását szolgáltatja a P(x)>k feltétel mellett.

3. Tétel. (N. Saradha, k4 eset; Győry K., k3 eset). A k=b=l=2 esettől eltekintve (n, k, b, x, l)=(48, 3, 6, 140, 2), azaz 48^.49^.50=6^.140² a (6) egyenlet egyetlen olyan megoldása, melyre P(x)>k.

Most megmutatjuk, hogy a 3. Tételből levezethető mind az 1. Tétel, mind pedig a 2. Tétel.

Először tekintsük az (1) egyenletet, s tegyük fel, hogy (n, k, x, l) megoldása (1)-nek. A k=l=2 eset nyilván nem lehetséges. Továbbá a 3. Tétel miatt P(x)>k sem teljesülhet. Ha viszont P(x)k, úgy Sylvester tétele szerint nk, azaz n. Továbbá Csebisev tétele következtében létezik olyan p prímszám, amelyre pn+k-1. Ebből következik, hogy p-nek csupán az első hatványa lehet osztója n(n+1)...(n+k-1)-nek, ami (1) miatt nem lehetséges. Ezzel az 1. Tételt levezettük a 3. Tételből.

Ezután tekintsük a (2) egyenlet egy (n, k, x, l) megoldását. A (2) egyenlet

n(n+1)...(n+k-1)=bx^l

alakba írható, ahol b a k! legnagyobb l-edik hatványmentes osztója. Feltevés szerint nk+1, ezért Sylvester tételét alkalmazva P(x)>k adódik. Ekkor viszont a 2. Tétel már azonnal következik a 3. Tételből.

Az (1), (2) és (6) egyenletek további általánosításai a

(7)   n(n+d)...(n+(k-1)d)=x^l

és a

(8)   n(n+d)...(n+(k-1)d)=bx^l

egyenletek, ahol n, d, k, b, x, l pozitív egész ismeretlenek, k3, x2, l2, (n, d )=1 és P(b)k. Mint említettük, ezekkel az egyenletekkel is sokan foglalkoztak, sok érdekes eredményt publikáltak. Ezekről az eredményekről az érdeklődő olvasó áttekintést nyerhet a [7], [9], [8], [6] munkákból. Azonban ellentétben az (1), (2) és (6) egyenletekkel, amelyeknek teljes megoldását ismerjük, a (7) és (8) egyenletekkel kapcsolatban eddig csupán részeredmények születtek.

Irodalom

[1] L. E. Dickson, History of the Theory of Numbers, 2. kiadás, Chelsea Publ. Comp., New York, 1971.

[2] P. Erdős and J. L. Selfridge, The product of consecutive integers is never a power, Illinois J. Math. 19 (1975), 292-301.

[3] Erdős Pál és Surányi János, Válogatott fejezetek a számelméletből, Tankönyvkiadó Vállalat, Budapest, 1960. Második, kibővített kiadás: Polygon, Szeged, 1996.

[4] K. Győry, On the diophantine equation =x^l, Acta Arith., 80 (1997), 289-295.

[5] K. Győry, On the diophantine equation n(n+1)...(n+k-1)=bx^l, Acta Arith., 83 (1998), 87-92.

[6] K. Győry, Power values of products of consecutive integers and binomial coefficients, in: ,,Number Theory and Its Applications'' Kluwer Acad. Publ., megjelenés alatt.

[7] W. Narkiewicz, Classical Problems in Number Theory, Polish Scientific Publ., Warszawa, 1986.

[8] T. N. Shorey and R. Tijdeman, Some methods of Erdős applied to finite arithmetic progressions, The Mathematics of Paul Erdős, I, 251-267. Springer-Verlag, 1997.

[9] R. Tijdeman, Diophantine equations and diophantine approximations, in: ,,Number Theory and Applications'', Kluwer Acad. Publ. 1989, 215-243.

Győry Kálmán