Az A. 378. feladat (2005. szeptember)

A. 378. Létezik-e olyan $f:\mathbb{Q}\to\{-1,1\}$ függvény, amelyre f(x)=-f(y), valahányszor x és y különböző racionális számok, és xy=1 vagy x+y $\in$ {0,1}?

(5 pont)

A beküldési határidő 2005. október 17-én LEJÁRT.

Megoldás. Létezik ilyen függvény.

Mint ismeretes, tetszőleges x racionális szám egyértelműen írható véges lánctört alakban:

$x=a_0+\frac1{a_1+\frac1{a_2+\dots+\frac1{a_n}}},$

ahol a₀ egész szám, az a₁,...,a_n számok pedig pozitív egészek és a_n>1. A lánctörtjegyeket egyszerű mohó algoritmussal kapjuk. Az a₀ csak az x egész része lehet. Ha x nem egész, akkor az $\frac1{\{x\}}$ számot kell tovább bontanunk. Az algoritmus során a felbontandó szám számlálója és nevezője az Euklideszi algoritmusnak megfelelően csökken, ezért az eljárás biztosan véget ér.

Legyen tetszőleges racionális x-re $\ell$ (x) az x lánctört alakjában a törtvonalak száma (azaz a fenti n index). A lánctörtképzés szabályai szerint $\ell$ (x)=0, ha x egész, és $\ell$ (x)= $\ell$ (1/x)+1 ha 0<x<1.

Definiáljuk az f függvényt a következőképpen.

f(0)=-1; $f(x)=(-1)^{\ell(x)}$ , ha x>0; $f(x)=-(-1)^{\ell(|x|)}$ , ha x<0.

Az $\ell$ (x) függvény definíciójából következik, hogy ha x pozitív racionális szám és k pozitív egész, akkor $\ell$ (x+k)= $\ell$ (x) és f(x+k)=f(x).

Most megmutatjuk, hogy f(1/x)=-f(x), ha x $\ne$ 0, $\pm$ 1. Mivel f(-x)=-f(x) és f(-1/x)=-f(1/x), ezt elég pozitív x-ekre igazolni. Mivel pedig x és 1/x szerepe is felcserélhető, feltehetjük, hogy 0<x<1. Ekkor viszont $\ell$ (x)= $\ell$ (1/x)+1, azaz f(1/x)=-f(x).

Az f függvény definíciójából láthatjuk, hogy ha x+y=0, akkor f(x)=-f(y), kivéve az x=y=0 esetet. Ezért már csak azt kell igazolnunk, hogy f(1-x)=-f(x), ha $x\ne\frac12$ . A szimmetria miatt feltehetjük, hogy $x>\frac12$ .

Ha x>1, akkor f(x)=f(x-1)=-f(1-x), kész vagyunk. Ha x=1, akkor f(x)=f(1)=1 és f(1-x)=f(0)=-1, szintén kész vagyunk. Marad az az eset, amikor $\frac12<x<1$ . Ekkor pedig

$f(x)=-f \left(\frac1x\right)= -f\left(\frac1x-1\right)= -f\left(\frac{1-x}x\right)=$

$=f\left(\frac{x}{1-x}\right)= f\left(\frac{x}{1-x}+1\right)= f\left(\frac1{1-x}\right)= -f(1-x).$

Az f függvény tehát mindegyik feltételnek eleget tesz.

Megjegyzés. Könnyű meggondolni, hogy a feltételek és f(1) értéke az összes többi értéket meghatározzák, ezért csak a most definiált f függvény és (-1)-szerese teljesíti a feltételeket.

Statisztika:

23 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Erdélyi Márton, Gyenizse Gergő, Hujter Bálint, Jankó Zsuzsanna, Kisfaludi-Bak Sándor, Kónya 495 Gábor, Molnár 999 András, Nagy 224 Csaba, Paulin Roland, Sümegi Károly, Szabó 108 Tamás, Ureczky Bálint.

4 pontot kapott: Korándi Dániel, Radnai András, Szilágyi Dániel.

3 pontot kapott: 2 versenyző.

2 pontot kapott: 3 versenyző.

0 pontot kapott: 3 versenyző.

A KöMaL 2005. szeptemberi matematika feladatai

23 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Erdélyi Márton, Gyenizse Gergő, Hujter Bálint, Jankó Zsuzsanna, Kisfaludi-Bak Sándor, Kónya 495 Gábor, Molnár 999 András, Nagy 224 Csaba, Paulin Roland, Sümegi Károly, Szabó 108 Tamás, Ureczky Bálint.
4 pontot kapott:	Korándi Dániel, Radnai András, Szilágyi Dániel.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?