Az A. 384. feladat (2005. november)

A. 384. Az a₀,a₁,...,a_n és b₀,b₁,...,b_k nemnegatív valós számokra teljesül, hogy a₀=b₀=1 és

(a₀+a₁x+...+a_nxⁿ)(b₀+b₁x+...+b_kx^k)=1+x+...+x^n+k.

Igazoljuk, hogy az a_i és b_i számok mindegyike 0 vagy 1.

IMC 2001, Prága

(5 pont)

A beküldési határidő 2005. december 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Az egyszerűbb diszkusszió érdekében legyen a_n+1=a_n+2=...=b_k+1+b_k+2+...=0.

A két polinomnak összesen n+k komplex gyöke van; ezek az (n+k+1)-edik egységgyökök, kivéve az 1-et.

Mindegyik egységgyökre igaz, hogy a konjugáltja ugyanannak a tényezőnek gyöke. Mivel a konjugált gyöktényezőpárok szorzata mindig x²+cx+1 alakú, az a₀+...+a_nxⁿ és a b₀+...+b_kx^k polinomok szimmetrikus, x²+cx+1 és x+1 alakú tényezőkre bonthatók. Ebből következik, hogy a_n-i=a_i és b_k-i=b_i; speciálisan a_n=b_k=1.

Az xⁿ együtthatója

a₀b_n+...+a_nb₀=a₀b₀+a₁b₁+a₂b₂+...+a_nb_n=1+a₁b₁+a₂b₂+...+a_nb_n=1,

vagyis a₁b₁=a₂b₂=...=0.

Ezután az állítást indukcióval igazoljuk. Tegyük fel, hogy a₀,...,a_i-1 és b₀,...,b_i-1 mind 0 vagy 1. Vizsgáljuk meg xⁱ együtthatóját:

a_i+b_i=1-(a₁b_i-1+...+a_i-1b₁).

Ez a szám nemnegatív egész és legfeljebb 1. Tehát a_i+b_i értéke 0 vagy 1, miközben a_ib_i=0. Ez pedig csak úgy lehet, ha egyikük 0, a másik pedig 0 vagy 1.

Statisztika:

13 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Erdélyi Márton, Estélyi István, Fischer Richárd, Gyenizse Gergő, Hujter Bálint, Jankó Zsuzsanna, Kisfaludi-Bak Sándor, Kónya 495 Gábor, Kutas Péter, Nagy 224 Csaba, Paulin Roland, Tomon István.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2005. novemberi matematika feladatai