Az A. 429. feladat (2007. május)

A. 429. Határozzuk meg mindazokat az egész együtthatós f(x) és g(x) polinomokat, amikre

f(g(x))=x²⁰⁰⁷+2x+1.

Javasolta: Gyarmati Katalin (Dunakeszi)

(5 pont)

A beküldési határidő 2007. június 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Az egyenletet deriválva (ez egy ilyen deriválós hónap :-) ),

f'(g(x))^.g'(x)=2007x²⁰⁰⁶+2.

Mivel a főegyüttható páratlan, az összes többi együttható páros és a konstans tag nem osztható 4-gyel, az Eisenstein-kritérium szerint a 2007x²⁰⁶+2 polinom irreducibilis, nem bontható fel két legalább elsőfokú egész együtthatós polinom szorzatára. Tehát a szorzat valamelyik tényezője konstans. Mivel (2007,2)=1, ez a konstans csak 1 vagy -1 lehet.

Ha g'(x)=1, akkor g(x)=x+c valamilyen c egész számmal és f(x)=(x-c)²⁰⁰⁷+2(x-c)+1.

Ha g'(x)=-1, akkor g(x)=-x+c és f(x)=(-x+c)²⁰⁰⁷+2(-x+c)+1.

Ha f'(g(x))=1, akkor g'(x)=2007x²⁰⁰⁶+2. A g(x) polinom foka 2007, és végtelen sok értéket felvesz. Ezért f'(g(x))=1 csak úgy lehetséges, ha f'(x)=1. Ekkor f(x)=x+c és g(x)=x²⁰⁰⁷+2x+1-c.

Végül, ha Ha f'(g(x))=-1, akkor az előző esethez hasonlóan f'(x)=-1, f(x)=-x+c és g(x)=-x²⁰⁰⁷-2x-1+c.

Statisztika:

8 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Gyenizse Gergő, Hujter Bálint, Kisfaludi-Bak Sándor, Lovász László Miklós, Nagy 224 Csaba, Tomon István.
4 pontot kapott:	Nagy 235 János.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2007. májusi matematika feladatai