Az A. 431. feladat (2007. szeptember)

A. 431. A nem egyenlő szárú ABC háromszög körülírt és beírt körének középpontja O, illetve I. A beírt kör a BC, CA, AB oldalakat rendre a D, E, F pontokban érinti. Az FD és AC egyenesek metszéspontja P, a DE és AB egyenesek metszéspontja Q. Az EP és FQ szakaszok felezőpontja M, illetve N. Bizonyítsuk be, hogy MN merőleges OI-re.

Kínai Matematikai Olimpia, 2007

(5 pont)

A beküldési határidő 2007. október 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Megmutatjuk, hogy MN a beírt és a körülírt kör hatványvonala. Ebből az állítás azonnal következik, mert a hatványvonal merőleges az OI centrálisra.

Legyen AE=AF=x, BD=BF=y és CD=CE=z. A QA előjeles távolságot jelöljük u-val; u akkor legyen pozitív, ha QA és AB azonos irányú. A Menelaosz-tétel szerint

$\frac{AQ}{QB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = -1$

$\frac{-u}{u+x+y} \cdot \frac{y}{z} \cdot \frac{z}{x} = -1$

$u = \frac{x(x+y)}{y-x}.$

Ebből $QF = QA+AF = u+x = \frac{2xy}{y-x}$ , $NF = \frac12QF = \frac{xy}{y-x}$ , $NA = NF - AF = \frac{xy}{y-x} - x = \frac{y^2}{y-x}$ és $NB = NF +FB = \frac{xy}{y-x} + y = \frac{x^2}{y-x}$ . Mivel az NF szakasz F-ben érinti a beírt kört és

$NF^2 = NA \cdot NB = \frac{x^2y^2}{(y-x)^2},$

az N pontnak a két körre vonatkozó hatványai megegyeznek, tehát N rajta van a hatványvonalon.

A B és C pontok szerepének felcserélésével hasonlóan kaphatjuk, hogy M is rajta van a hatványvonalon. Tehát MN a hatványvomnal, ami merőleges az OI centrálisra.

Statisztika:

10 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Blázsik Zoltán, Gombor Tamás, Korándi Dániel, Lovász László Miklós, Nagy 235 János, Nagy 314 Dániel, Szűcs Gergely, Tomon István, Tuan Nhat Le, Wolosz János.

A KöMaL 2007. szeptemberi matematika feladatai

10 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Blázsik Zoltán, Gombor Tamás, Korándi Dániel, Lovász László Miklós, Nagy 235 János, Nagy 314 Dániel, Szűcs Gergely, Tomon István, Tuan Nhat Le, Wolosz János.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?