 |
Az A. 456. feladat (2008. május) |
A. 456. Adott az ABC háromszög és belsejében a D pont úgy, hogy az ABD, BCD, és CAD háromszögekbe írt körök páronként érintik egymást. Jelöljük az érintési pontokat a BC, CA, AB, AD, BD, CD szakaszokon rendre A1, B1, C1, A2, B2, C2-vel. Legyen E az B1C2 és B2C1 egyenesek, F pedig a A1C2 és A2C1 egyenesek metszéspontja. Mutassuk meg, hogy az AF, BE és C1D egyenesek egy ponton mennek át.
(5 pont)
A beküldési határidő 2008. június 16-án LEJÁRT.
Megoldás. A megoldás során többször használjuk az következő, jól ismert tételt:
Bármely három különböző kör 6 hasonlósági középpontja négy egyenesen helyezkedik el, nevezetesen
-- egy egyenesre esik a három külső hasonlósági középpont;
-- egy egyenesre esik bármelyik két belső és a harmadik körpárhoz tartozó hasonlósági középpont.
Jelöljük a \(\displaystyle ABC\), \(\displaystyle BCD\), \(\displaystyle CAD\), \(\displaystyle ABD\) háromszögek beírt körét rendre \(\displaystyle i\), \(\displaystyle \omega_A\), \(\displaystyle \omega_B\), \(\displaystyle \omega_C\)-vel.
Az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), illetve \(\displaystyle D\) pontokból a \(\displaystyle \omega_A\), \(\displaystyle \omega_B\) és \(\displaystyle \omega_C\) körökhöz húzott érintő szakaszok egyenlő hosszúak, ezért
\(\displaystyle AB_1=AA_2=AC_1\), \(\displaystyle BA_1=BB_2=BC_1\), \(\displaystyle CA_1=CC_2=CB_1\) és \(\displaystyle DA_2=DB_2=D,C_2\).
Az \(\displaystyle AB_1=AC_1\), \(\displaystyle BA_1=BC_1\) és \(\displaystyle CA_1=CB_1\) összefüggések teljesülnek az \(\displaystyle ABC\) háromszögbe írt kör érintési pontjaira, és egyértelműen meghatározzák az \(\displaystyle A_1\), \(\displaystyle B_1\), és \(\displaystyle C_1\) pontokat. Tehát, a \(\displaystyle i\) beirt kör az \(\displaystyle A_1\), \(\displaystyle B_1\) és \(\displaystyle C_1\) pontokban érinti az oldalakat.
Az \(\displaystyle ADBC\) (konkáv) négyszög érintőnégyszög, mert a szemközti oldalainak össege megegyezik:
\(\displaystyle AD+BC = (AA_2+DA_2)+(BA_1+CA_1) = (DB_2+BB_2)+(CB_1+AB_1) = AC+D. \)
Létezik tehát egy \(\displaystyle \Omega_C\) kör, ami érinti az \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle BC\) oldalat, valamint az \(\displaystyle AD\) és \(\displaystyle BD\) oldalak meghosszabítását.
Legyen az \(\displaystyle i\) és \(\displaystyle \omega_A\) körök belső hasonlósági pontja \(\displaystyle E'\). Az \(\displaystyle i\) és az \(\displaystyle \omega_B\) külső hasonlósági pontja \(\displaystyle B_1\), az \(\displaystyle \omega_A\) és az \(\displaystyle \omega_B\) belső hasonlósági pontja pedig \(\displaystyle C_2\). Ezért az \(\displaystyle B_1\), \(\displaystyle C_2\) és \(\displaystyle E'\) pontok egy egyenesen vannak.
Hasonlóképpen \(\displaystyle C_1\), az \(\displaystyle i\) és az \(\displaystyle \omega_C\) külső hasonlósági pontja, valamint \(\displaystyle B_2\), az \(\displaystyle \omega_A\) és az \(\displaystyle \omega_C\) belső hasonlósági pontja is egy egyenesen van \(\displaystyle E'\)-vel. Tehát \(\displaystyle E'=E\).
Az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pontok szerepének felcserélésével kapjuk, hogy az \(\displaystyle F\) pont az \(\displaystyle i\) és \(\displaystyle \omega_B\) körök belső hasonlósági pontja.
Végül, legyen \(\displaystyle G\) az \(\displaystyle i\) és \(\displaystyle \Omega_C\) körök belső hasonlósági pontja. Megmutatjuk, hogy az az \(\displaystyle AF\), \(\displaystyle BE\) és \(\displaystyle C_1D\) egyenesek mindegyike átmegy \(\displaystyle G\)-n.
Mivel \(\displaystyle \omega_B\) és \(\displaystyle \Omega_C\) külső hasonlósági pontja \(\displaystyle A\), illetve \(\displaystyle \omega_B\) és \(\displaystyle i\) belső hasonlósági pontja \(\displaystyle F\), az \(\displaystyle AF\) egyenes átmegy \(\displaystyle G\)-n.
Mivel \(\displaystyle \omega_A\) és \(\displaystyle \Omega_C\) külső hasonlósági pontja \(\displaystyle B\), illetve \(\displaystyle \omega_A\) és \(\displaystyle i\) belső hasonlósági pontja \(\displaystyle E\), a \(\displaystyle BE\) egyenes átmegy \(\displaystyle G\)-n.
Mivel \(\displaystyle \omega_C\) és \(\displaystyle i\) külső hasonlósági pontja \(\displaystyle C_1\), illetve \(\displaystyle \omega_C\) és \(\displaystyle \Omega_A\) belső hasonlósági pontja \(\displaystyle D\), a \(\displaystyle C_1D\) egyenes is átmegy \(\displaystyle G\)-n.
Megjegyzés. Az ábrából sejthető, hogy az \(\displaystyle AD\) és \(\displaystyle BD\) egyenesek is átmennek az \(\displaystyle E\), illetve \(\displaystyle F\) pontokon.
Legyen \(\displaystyle \Omega_A\) a \(\displaystyle CABD\) érintőnégyszög beírt köre. Az \(\displaystyle i\) és \(\displaystyle \Omega_A\) körök külső hasonlósági pontja \(\displaystyle A\), az \(\displaystyle \omega_A\) és \(\displaystyle \Omega_A\) körök belső hasonlósági pontja \(\displaystyle D\), az \(\displaystyle \omega_A\) és \(\displaystyle i\) körök belső hasonlósági pontja pedig \(\displaystyle E\), Ezért az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle E\) pontok, és teljesen hasonlóan a \(\displaystyle B\), \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle F\) pontok is egy egyenesen vannak.
Statisztika:
4 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Lovász László Miklós, Nagy 235 János, Tomon István. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2008. májusi matematika feladatai