Az A. 465. feladat (2008. november)

A. 465. Mutassuk meg, hogy ha n pozitív egész, akkor $\big[\big(\root3\of{28}-3\big)^{-n}\big]$ nem osztható 6-tal.

(5 pont)

A beküldési határidő 2008. december 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Az a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²) azonosságból

$\big(\root3\of{28}-3\big)^{-1} = \big(\root3\of{28}\big)^2+\root3\of{28}\cdot3+3^2$

és

$\big(\root3\of{28}-3\big)^{-n} = \Big(\big(\root3\of{28}\big)^2+\root3\of{28}\cdot3+3^2\Big)^n= \sum_{k+l+m=n}\frac{n!}{k!l!m!} \big(\root3\of{28}\big)^{2k+l}3^{l+m2}.$

Legyen $\varepsilon=\cos\frac{2\pi}3+i\cdot\sin\frac{2\pi}3$ az első harmadik egységgyök, és tekintsük az

$S= \Big(\big(\root3\of{28}\big)^2+\root3\of{28}\cdot3+3^2\Big)^n + \Big(\big(\root3\of{28}\varepsilon\big)^2+ \big(\root3\of{28}\varepsilon\big)\cdot3+3^2\Big)^n + \Big(\big(\root3\of{28}\varepsilon^2\big)^2+ \big(\root3\of{28}\varepsilon^2\big)\cdot3+3^2\Big)^n =$

$= \sum_{k+l+m=n}\frac{n!}{k!l!m!} \big(\root3\of{28}\big)^{2k+l}3^{l+m2} \big(1+\varepsilon^{2k+l}+\varepsilon^{4k+2}\big)$

számot.

Minden olyan esetben, amikor 2k+1 és 4k+2 nem osztható 3-mal, akkor a zárójelben álló összeg 1+ $\varepsilon$ + $\varepsilon$ ²=0. Ezek a tagok tehát kiesnek.

Amikor 2k+1 és vele együtt 4k+2 is osztható 3-mal, akkor az utolsó zárójelben 3 áll. Az ilyen tagokban a $\root3\of{28}$ kitevője osztható 3-mal. Ezek a tagok tehát 3-mal osztható egészek. Továbbá páratlan tagot csak a k=l=0, m=n esetben kapunk. Azt kaptuk, hogy S egész szám és s $\equiv$ 3 (mod 6).

Könnyen ellenőrizhető, hogy $\Big|\big(\root3\of{28}\varepsilon\big)^2+ \big(\root3\of{28}\varepsilon\big)\cdot3+3^2\Big|<1$ és $\Big|\big(\root3\of{28}\varepsilon^2\big)^2+ \big(\root3\of{28}\varepsilon^2\big)\cdot3+3^2\Big|<1$ . Ez azért is igaz, mert a két szám egymás konjugáltja és

$\Big(\big(\root3\of{28}\big)^2+\root3\of{28}\cdot3+3^2\Big)\cdot \Big(\big(\root3\of{28}\varepsilon\big)^2+ \big(\root3\of{28}\varepsilon\big)\cdot3+3^2\Big)\cdot \Big(\big(\root3\of{28}\varepsilon^2\big)^2+ \big(\root3\of{28}\varepsilon^2\big)\cdot3+3^2\Big) =$

$= \frac{1}{\big(\root3\of{28}-3\big)\big(\root3\of{28}\varepsilon-3\big)\big(\root3\of{28}\varepsilon^2-3\big)} =\frac{1}{28-3^3}=1.$

Az S-ben szereplő két kisebb tag abszolút értékének összege tehát kisebb, mint 2, ezért a $\big[\big(\root3\of{28}-3\big)^{-n}\big]$ szám nem lehet 6-tal osztható.

Statisztika:

5 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Nagy 235 János, Nagy 314 Dániel, Nagy 648 Donát, Tomon István.

0 pontot kapott: 1 versenyző.

A KöMaL 2008. novemberi matematika feladatai

5 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Nagy 235 János, Nagy 314 Dániel, Nagy 648 Donát, Tomon István.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?