 |
Az A. 540. feladat (2011. szeptember) |
A. 540. Az A1A2A3 nem szabályos háromszög magasságpontja M, Feuerbach-pontja F, körülírt köre k. Minden egyes i=1,2,3-ra legyen ki az a kör, ami belülröl érinti k-t, továbbá érinti az AiAi+1 és AiAi+2 oldalakat (Az indexet modulo 3 értjük, tehát A4=A1 és A5=A2.) A k és a ki körök érintési pontját jelöljük Ti-vel. Bizonyítsuk be, hogy az A1T1, A2T2, A3T3 és MF egyenesek egy ponton mennek át.
(A Feuerbach-pont az a pont, ahol a háromszög Feuerbach-köre és beírt köre érintik egymást.)
Javasolta: Damásdi Gábor és Mester Márton (Budapest)
(5 pont)
A beküldési határidő 2011. október 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Többször fel fogjuk használni a három hasonlósági pont tételét (más néven Monge tétel, lásd pl. itt).
Legyen b a beírt kör, f a Feuerbach-kör, és legyen H az f és k körök külső hasonlósági pontja. Megnutatjuk, hogy az AiTi és FM egyenesek átmenek H-n.
Alkalmazzuk a három hasonlósági pont tételét a b, k és ki körökre. A b és ki körök külső hasonlósági pontja Ai, a k és a ki külső hasonlósági pontja Ti, a b és k külső hasonlósági pontja H; ezek a tétel szerint egy egyenesre esnek. Tehát, az AiTi egyenes átmegy H-n (i=1,2,3).
Tekintsük most a b, f és k köröket. Jól ismert, hogy az f Feuerbach-kör és a k körülírt kör külső hasonlósági pontja M (a Feuerbach kör átmegy az MA1, MA2, MA3 szakaszok felezőpontján, ezért a körülírt kört M-ből a felére kicsinyítve a Feuerbach-kört kapjuk). Továbbá a b és az f körök külső hasonlósági pontja F, a b és a k körök külső hasonlósági pontja pedig H; a tétel szerint M, F és H is egy egyenesre esnek. Tehát az FM egyenes is átmegy H-n.
Statisztika:
6 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Ágoston Tamás, Gyarmati Máté, Mester Márton, Omer Cerrahoglu, Szabó 928 Attila. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2011. szeptemberi matematika feladatai