 |
Az A. 544. feladat (2011. október) |
A. 544. Adott az O középpontú k kör és rajta a különböző A, B, C, D rögzített pontok. A k' kör k-t merőlegesen metszi A-ban és B-ben. Vegyünk fel az OA egyenesen egy X változó pontot. Legyen U az ACX és a k' körök A-tól különböző metszéspontja, V az ADX és a k' körök A-tól különböző metszéspontja, W a BDU kör és az OB egyenes B-től különböző metszéspontja, végül legyen E a BVW és a k körök B-től különböző metszéspontja. Igazoljuk, hogy az E pont helyzete nem függ az X pont megválasztásától.
(5 pont)
A beküldési határidő 2011. november 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Fel fogjuk használni pontnégyesek kettősviszonyának fogalmát és alapvető tulajdonságait, amit egyenesen, körön (sőt, nem elfajuló kúpszeleteken is) értelmezünk.
Legyen a k körön az A-val átellenes pont A1, a V-vel átellenes pont B1. Azt fogjuk bebizonyítani, hogy (A1,B,C,D)=(A,B,U,V)=(A,B1,D,E). Ebből az állítás következik, mert az A,B1,D pontok és az (A,B1,D,E) kettősviszony egyértelműen meghatározzák az E pont helyét a k körön.
A szimmetria miatt elég azt igazolni, hogy (A1,B,C,D)=(A,B,U,V); az A és B, az A1 és B1, a C és E, az X és W, továbbá az U és V pontok szerepének felcserélésével ugyanezekkel a lépésekkel igazolható, hogy (A,B,U,V)=(A,B,D,E).
Helyezzük el az ábrát az inverzív síkon, amelynek csak egy ideális pontja van; legyen ez I. Alkalmazzunk egy A pólusú inverziót; a pontok képe legyen A'=I,I'=A,A1',B',C',D',X',U',V'. Mivel az A-n átmenő körök képe egyenes, az B',C',D' pontok, az U',V',D' pontok, az X',U',C' pontok, továbbá az X',V',D' pontok egy egyesen vannak. Mivel az AA1X egyenes érinti a k' kört, képeik, az AA1'X' és a B'U'V' egyenes párhuzamosak.
Mivel az inverzió megtartja a kettősviszonyt, valamint a X' pontból az A1',B',C',X' pontnégyest az A',B',U',V', pontnégyesbe vetíthetjük,
(A1,B,C,D)=(A1',B',C',D')=(A',B',U',V')=(A,B,U,V).
Statisztika:
6 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Ágoston Tamás, Gyarmati Máté, Janzer Olivér, Mester Márton, Omer Cerrahoglu, Strenner Péter.
A KöMaL 2011. októberi matematika feladatai