Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Az A. 560. feladat (2012. április)

A. 560. Adott egy egyenes körkúp, a csúcsa O, továbbá a kúp alaplapjának síkjában egy rögzített P pont. Húzzunk P-n keresztül egy x egyenest, ami a kúp alapkörét az X1 és X2 pontokban metszi. Igazoljuk, hogy

\mathop{\rm tg}\frac{POX_1\sphericalangle}2 \cdot \mathop{\rm tg}\frac{POX_2\sphericalangle}2

nem függ az x egyenes megválasztásától.

(5 pont)

A beküldési határidő 2012. május 10-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat. Legyen G az O középpontú, a kúp alapkörére illeszkedő gömbfelület. Legyen G és az OP félegyenes döféspontja P', a gömb P'-vel átellenes pontja I. Invertáljuk a gömböt az I középpontú, IP' sugarú gömbre; a gömb képe a P'-beli érintősík lesz, jelöljük ezt S-sel. A kúp alapkörének képe egy, az S síkban fekvő k kör lesz.

Legyen X1' és X2' az X1, illetve X2 pontok képe. Ekkor P',X1',X2' egy egyenesre, továbbá X1',X2' a k körre esnek, és

\tg \frac{POX_1\sphericalangle}2 \cdot \tg \frac{POX_2\sphericalangle}2 = \tg P'IX_2' \sphericalangle \cdot \tg P'IX_2' \sphericalangle = \frac{P'X_1'}{IP'} \cdot \frac{P'X_2'}{IP'} = \frac{P'X_1' \cdot P'X_2'}{IP'^2}.

A számláló a P' pont hatványa a P' körre, nem függ az X1',X2' pontoktól.

Statisztika:

8 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Ágoston Tamás, Janzer Olivér, Mester Márton, Omer Cerrahoglu, Strenner Péter, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila.
4 pontot kapott:Gyarmati Máté.

A KöMaL 2012. áprilisi matematika feladatai