 |
Az A. 652. feladat (2015. október) |
A. 652. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan \(\displaystyle C>1\) szám, amelyre a következő tulajdonság teljesül: valahányszor \(\displaystyle n>1\), és \(\displaystyle a_0<a_1<\ldots<a_n\) olyan pozitív egészek, amelyekre az \(\displaystyle \frac1{a_0},\frac1{a_1},\ldots,\frac1{a_n}\) számok számtani sorozatot alkotnak, \(\displaystyle a_0> C^n\).
CIIM 2015, Mexikó
(5 pont)
A beküldési határidő 2015. november 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Tegyük fel, hogy \(\displaystyle a_0<a_1<\ldots<a_n\) olyan pozitív egészek, amelyekre \(\displaystyle \frac1{a_0},\frac1{a_1},\ldots,\frac1{a_n}\) számtani sorozatot alkotnak. A kényelmesebb számolás érdekében legyen \(\displaystyle x_i=\tfrac1{a_i}\) és \(\displaystyle \Delta=x_0-x_1=x_1-x_2=\ldots=x_{n-1}-x_n\).
Először \(\displaystyle k\) szerinti indukcióval igazoljuk, hogy
| \(\displaystyle \sum_{\ell=0}^k(-1)^{k-\ell}\binom{k}{\ell} a_\ell = \frac{k! \cdot \Delta^k}{x_0x_1\cdots x_k} \ge1. \) | \(\displaystyle (1) \) |
\(\displaystyle k=0\)-ra ez triviális. Az indukciós fetevést alkalmazzuk az \(\displaystyle (a_0,\ldots,a_k)\) és az \(\displaystyle (a_1,\ldots,a_{k+1})\) sorozatra is:
\(\displaystyle \sum_{\ell=0}^{k+1}(-1)^{k+1-\ell}\binom{k+1}{\ell} a_\ell = \left(\sum_{\ell=0}^{k}(-1)^{k-\ell}\binom{k}{\ell} a_\ell\right) - \left(\sum_{\ell=0}^{k}(-1)^{k-\ell}\binom{k}{\ell} a_{\ell+1}\right) = \)
\(\displaystyle = \frac{k! \cdot \Delta^k}{x_0x_1\cdots x_k} - \frac{k! \cdot \Delta^k}{x_1x_2\cdots x_{k+1}} = \frac{k! \cdot \Delta^k \cdot (x_0-x_{k+1})}{x_0x_1\cdots x_{k+1}} = \frac{(k+1)! \cdot \Delta^{k+1}}{x_0x_1\cdots x_{k+1}}. \)
Végül, vegyük észre, hogy a bal oldalon egy egész szám áll, így az, hogy a bal oldal pozitív, ekvivalens azzal, hogy legalább \(\displaystyle 1\).
A következő állításunk az, hogy
| \(\displaystyle a_m\ge a_0+2^m-1 \quad\text{ahol}\quad 1\le m\le n. \) | \(\displaystyle (2) \) |
Vizsgáljuk a következő számot:
\(\displaystyle \Sigma = \sum_{k=0}^m \binom{m}{k} \left( \sum_{\ell=0}^k(-1)^{k-\ell}\binom{k}{\ell} a_\ell \right). \)
Az első tag (ahol \(\displaystyle k=0\)) éppen \(\displaystyle a_0\). A többi tagot becsüljük (1)-gyel:
| \(\displaystyle \Sigma \ge a_0 + \sum_{k=1}^m \binom{m}{k}\cdot 1 = a_0+2^m-1. \) | \(\displaystyle (3) \) |
Másfelől, felcserélve a szummákat,
\(\displaystyle \Sigma = \sum_{\ell=0}^m a_\ell \left( \sum_{k=\ell}^m (-1)^{k-\ell} \binom{m}{k} \binom{k}{\ell} \right) = \sum_{\ell=0}^m a_\ell \binom{m}{\ell} \left( \sum_{k=\ell}^m (-1)^{k-\ell} \binom{m-\ell}{k-\ell} \right). \)
\(\displaystyle \ell<m\)-re az utolsó összeg \(\displaystyle (1-1)^{m-\ell}=0\) a binomiális tétel miatt. \(\displaystyle \ell=m\)-re pedig ez az összeg \(\displaystyle 1\). Tehát \(\displaystyle \Sigma=a_m\), és (3) bizonyítja (2)-t.
A feladat állításának bizonyításához írjunk \(\displaystyle m=n-1\)-et (2)-ben; azt kapjuk, hogy \(\displaystyle a_{n-1}\ge a_0+2^{n-1}-1\). Az
\(\displaystyle x_{n-1}>x_{n-1}-x_n = \frac{x_0-x_{n-1}}{n-1} \)
egyenlőtlenségből pedig \(\displaystyle n x_{n-1}>x_0\), vagyis \(\displaystyle na_0>a_{n-1}\). Így
\(\displaystyle n a_0 \ge a_{n-1}+1 \ge a_0+2^{n-1} \)
| \(\displaystyle a_0 \ge \frac{2^{n-1}}{n-1}. \) | \(\displaystyle (4) \) |
Ha \(\displaystyle n=2\), \(\displaystyle n=3\), akkor (4) szerint \(\displaystyle a_0\ge2\); ha \(\displaystyle n=4\), akkor pedig \(\displaystyle a_0\ge 3\).
Ha \(\displaystyle n\ge5\), akkor \(\displaystyle 2(n-1) = \binom{n}2 \frac4{n} \le \binom{n}2 \left(\frac9{10}\right)^2 < \left(1+\frac9{10}\right)^n\), így
\(\displaystyle a_0 \ge \frac{2^{n-1}}{n-1} > \left(\frac{20}{19}\right)^n. \)
Tehát,
\(\displaystyle C = \min\left(\sqrt[2]{2},\sqrt[3]{2},\sqrt[4]{3},\frac{20}{19}\right) = \frac{20}{19} \)
egy megfelelő választás.
Megjegyzés. A (4) egyenlőtlenség tetszőleleges \(\displaystyle C<2\) és elég nagy \(\displaystyle n\) esetén bizonyítja az állítást.
Másfelől, az \(\displaystyle a_i=\dfrac{\mathrm{lkkt}(1,2,\ldots,n+1)}{n+1-i}\) (\(\displaystyle i=0,1,\ldots,n\)) sorozat megfelel a feltételeknek. A prímszámtétel egy jól ismert alakja szerint \(\displaystyle \log \mathrm{lkkt}(1,2,\ldots,n)\sim n\). Ez mutatja, hogy az állítás nem igaz (elegendően nagy \(\displaystyle n\)-re sem) \(\displaystyle C>e\) esetén.
Statisztika:
8 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Baran Zsuzsanna, Williams Kada. 4 pontot kapott: Lajkó Kálmán. 3 pontot kapott: 1 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2015. októberi matematika feladatai