 |
Az A. 665. feladat (2016. március) |
A. 665. Legyenek \(\displaystyle a_1,a_2,\ldots,a_n\) különböző pozitív egész számok. Mutassuk meg, hogy
\(\displaystyle 3\sum_{i=1}^{n}a_i^5+\bigg(\sum_{i=1}^{n}a_i\bigg)^{2} \ge 4\bigg(\sum_{i=1}^{n}a_i^3\bigg)\bigg(\sum_{i=1}^{n}a_i\bigg). \)
Javasolta: Mehtaab Sawhney, Commack, USA
(5 pont)
A beküldési határidő 2016. április 11-én LEJÁRT.
Megoldásvázlat. Az állítást \(\displaystyle n\) szerinti indukcióval bizonyítjuk.
Ha \(\displaystyle n=1\), akkor az állítás \(\displaystyle 3a_1^5+a_1^2\ge4a_1^4\), ami ekvivalens azzal, hogy \(\displaystyle a_1^2(a_1-1)(3a_1^2-a_1-1)\ge0\).
Most tegyük fel, hogy az állítás igaz valamely \(\displaystyle n=k\)-ra, és vizsgáljuk az \(\displaystyle n=k+1\) esetet. A szimmetria miatt feltehetjük, hogy \(\displaystyle a_{k+1}>a_{k}\ldots>a_1\). Felhasználva az indukciós feltevést, elég azt igazolni, hogy
\(\displaystyle 3a_{k+1}^5+a_{k+1}\Big(a_{k+1}+2\sum_{i=1}^{k}a_i\Big)\ge 4a_{k+1}^4+4a_{k+1}\Big(\sum_{i=1}^{k}a_i^3\Big)+ 4a_{k+1}^3\Big(\sum_{i=1}^{k}a_i\Big). \)
Ez ekvivalens azzal, hogy
| \(\displaystyle 3a_{k+1}^5+a_{k+1}^2-4a_{k+1}^4\ge4a_{k+1}\Big(\sum_{i=1}^{k}a_i^3\Big)+\Big(4a_{k+1}^3-2a_{k+1}\Big)\Big(\sum_{i=1}^{k}a_i\Big). \) | (1) |
Az \(\displaystyle a_1,\ldots,a_k\) különböző értékek az \(\displaystyle [1,a_{k+1}-1]\), intervallumból, így
\(\displaystyle \sum_{i=1}^{k} a_i \le \sum_{i=1}^{a_{k+1}-1} i = \frac{a_{k+1}(a_{k+1}-1)}2 \)
és
\(\displaystyle \sum_{i=1}^{k} a_i^3 \le \sum_{i=1}^{a_{k+1}-1} i^3 = \left(\frac{a_{k+1}(a_{k+1}-1)}{2}\right)^2. \)
Ha ezeket a (1) jobboldalára alkalmazzuk, éppen azonosságot kapunk.
Statisztika:
6 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Baran Zsuzsanna, Glasznova Maja, Imolay András, Williams Kada. 4 pontot kapott: Bodnár Levente. 2 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2016. márciusi matematika feladatai