Az A. 667. feladat (2016. március)

A. 667. Az \(\displaystyle ABC\) nem egyenlő szárú háromszög körülírt körén legyen \(\displaystyle A_0\), \(\displaystyle B_0\), illetve \(\displaystyle C_0\) a \(\displaystyle BAC\), a \(\displaystyle CBA\), illetve az \(\displaystyle ACB\) ív felezőpontja. Jelölje \(\displaystyle A_1\), \(\displaystyle B_1\), illetve \(\displaystyle C_1\) az \(\displaystyle AB_0C_0\), a \(\displaystyle BC_0A_0\), illetve a \(\displaystyle CA_0B_0\) háromszög Feuerbach-pontját. Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle A_0B_0C_0\) és az \(\displaystyle A_1B_1C_1\) háromszögek hasonlók.

Orosz feladat

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. április 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a körülírt kör \(\displaystyle k\), a középpontja \(\displaystyle O\). A megoldás során \(\displaystyle O\) csúcsú irányított szögekkel fogunk számolni, ezek modulo \(\displaystyle 360^\circ\) erejéig egyértelműek.

Az \(\displaystyle ABC\) háromszöget válasszuk pozitív körüljárásúnak, a szögei legyenek \(\displaystyle \alpha\), \(\displaystyle \beta\) és \(\displaystyle \gamma\). A feltétel szerint az \(\displaystyle ABC\) háromszög nem egyenlő szárú, vagyis \(\displaystyle \alpha\), \(\displaystyle \beta\) és \(\displaystyle \gamma\) különbözők. A kerületi és középponti szögek tételéből \(\displaystyle {BOC}\sphericalangle=2\alpha\), \(\displaystyle {COA}\sphericalangle=2\beta\) és \(\displaystyle {AOB}\sphericalangle=2\gamma\). Az \(\displaystyle A_0\), \(\displaystyle B_0\) és \(\displaystyle C_0\) definíciójából \(\displaystyle {AOB_0}\sphericalangle={B_0OC}\sphericalangle=\gamma+\alpha\), \(\displaystyle {BOC_0}\sphericalangle={C_0OA}\sphericalangle=\alpha+\beta\) és \(\displaystyle {COA_0}\sphericalangle={A_0OB}\sphericalangle=\beta+\gamma\). Az \(\displaystyle A_0B_0C_0\) háromszög oldalaihoz tartozó középponti szögek

\(\displaystyle {B_0OC_0}\sphericalangle \equiv {B_0OA}\sphericalangle + {AOC_0}\sphericalangle \equiv -(\gamma+\alpha) -(\alpha+\beta) \equiv \beta+\gamma \pmod{360^\circ}, \)

és hasonlóan \(\displaystyle {C_0OA_0}\sphericalangle \equiv \gamma+\alpha \pmod{360^\circ}\), valamint \(\displaystyle {A_0OB_0}\sphericalangle \equiv \alpha+\beta \pmod{360^\circ}\). Ezek a szögek különbözők, így a \(\displaystyle A_0B_0C_0\) háromszög nem szabályos (nem is egyenlő szárú), tehát létrejön a Feuerbach-pontja. Jelöljük az \(\displaystyle A_0B_0C_0\) háromszög Feuerbach-pontját \(\displaystyle F\)-fel. A megoldás végén meg fogjuk mutatni, hogy az \(\displaystyle F\) pont nem eshet egybe az \(\displaystyle O\) ponttal.

Az \(\displaystyle A_0B_0C_0\) és \(\displaystyle AC_0B_0\) háromszögek egybevágók, mert \(\displaystyle {A_0OB_0}\sphericalangle={C_0OA}\sphericalangle=\alpha+\beta\) és \(\displaystyle {C_0OA_0}\sphericalangle={AOB_0}\sphericalangle=\gamma+\alpha\); a két háromszög egymás tükörképe a közös \(\displaystyle B_0C_0\) oldal felező merőlegesére. A szimmetria miatt a két háromszög Feuerbach-pontja, vagyis \(\displaystyle F\) és \(\displaystyle A_1\) is egymás tükörképe. Hasonlóan látjuk, hogy az \(\displaystyle F\) tükörképe az \(\displaystyle A_0C_0\) szakasz felező merőlegesére \(\displaystyle B_1\), az \(\displaystyle A_0B_0\) szakasz felező merőlegesére pedig \(\displaystyle C_1\). Ezek a felező merőlegesek mind átmennek az \(\displaystyle O\) ponton, így az \(\displaystyle F,A_1,B_1,C_1\) pontok egy \(\displaystyle O\) körüli \(\displaystyle k_1\) körön vannak.

Az \(\displaystyle A_1B_1C_1\) és az \(\displaystyle A_0B_0C_0\) háromszögben most már összehasonlíthatjuk az oldalaikhoz tartozó középponti szögeket:

\(\displaystyle {A_1OB_1}\sphericalangle \equiv {A_1OC_0}\sphericalangle + {C_0OB_1}\sphericalangle \equiv {B_0OF}\sphericalangle + {FOA_0}\sphericalangle \equiv {B_0OA_0}\sphericalangle = -{A_0OB_0}\sphericalangle \pmod{360^\circ}, \)

és hasonlóan \(\displaystyle {B_1OC_1}\sphericalangle \equiv -{B_0OC_0}\sphericalangle \pmod{360^\circ}\), illetve \(\displaystyle {C_1OA_1}\sphericalangle \equiv -{C_0OA_0}\sphericalangle \pmod{360^\circ}\); következésképp az \(\displaystyle A_1B_1C_1\) háromszög hasonló az \(\displaystyle A_0B_0C_0\) háromszöghöz, és a két háromszög ellentétes körüljárású.

A teljes megoldáshoz ellenőriznünk kell, hogy az \(\displaystyle F\) pont nem eshet egybe az \(\displaystyle O\) ponttal, avagy, a \(\displaystyle k_1\) kör, és vele az \(\displaystyle A_1B_1C_1\) háromszög nem fajulhat egyetlen ponttá. Ehhez azt mutatjuk megy, hogy az \(\displaystyle A_0B_0C_0\) háromszög Feuerbach-köre, ami átmegy az \(\displaystyle F\) ponton, nem megy át az \(\displaystyle O\) ponton.

Először is vegyük észre, hogy az \(\displaystyle A_0B_0C_0\) háromszög hegyesszögű: a szögei \(\displaystyle \frac{\beta+\gamma}2\), \(\displaystyle \frac{\gamma+\alpha}2\) és \(\displaystyle \frac{\alpha+\beta}2\). Legyen az \(\displaystyle A_0B_0C_0\) háromszög magasságpontja \(\displaystyle M\), az \(\displaystyle A_0\)-ból induló magasság talppontja \(\displaystyle T\), az \(\displaystyle A_0M\) szakasz felezőpontja \(\displaystyle U\); mivel a háromszög hegyesszögű, az \(\displaystyle M\), \(\displaystyle T\), \(\displaystyle U\) pontok különbözőek, és az \(\displaystyle M\) pont a \(\displaystyle TU\) szakasz belsejében van. A Feuerbach-kör átmegy a \(\displaystyle T\) és \(\displaystyle U\) pontokon, így az \(\displaystyle M\) pont a Feuerbach-kör belsejébe esik. Mint jól ismert, az \(\displaystyle A_0B_0C_0\) háromszög Feuerbach-körének középpontja az \(\displaystyle OM\) szakasz felezőpontja, így \(\displaystyle O\) is a Feuerbach-kör belsejében van.

Statisztika:

6 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Cseh Kristóf, Gáspár Attila, Glasznova Maja, Imolay András, Kovács 162 Viktória, Williams Kada.

A KöMaL 2016. márciusi matematika feladatai