Az A. 718. feladat (2018. február)

A. 718. Jelölje \(\displaystyle \mathbb{R}[x,y]\) a kétváltozós, valós együtthatós polinomok halmazát. Azt mondjuk, hogy az \(\displaystyle f\in\mathbb{R}[x,y]\) polinomnak az \(\displaystyle (a,b)\) számpár zérushelye, ha \(\displaystyle f(a,b)=0\).

Igaz-e, hogy ha a \(\displaystyle p,q\in\mathbb{R}[x,y]\) polinomoknak végtelen sok közös zérushelye van, akkor létezik olyan nem konstans \(\displaystyle r\in\mathbb{R}[x,y]\) polinom, ami kiemelhető \(\displaystyle p\)-ből és \(\displaystyle q\)-ból is?

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. március 12-én LEJÁRT.

A válasz: IGEN. (Ebben a feladatban talán a részletek helyes végigkövetése jelenti a legnagyobb kihívást; ennek megfelelően talán az alábbi megoldások a feladattal való bajlódást követően felértékelődnek.)

1. megoldás (Janzer Lili ötlete alapján). Ha \(\displaystyle f(x,y)\in \mathbb{R}[x,y]\) és \(\displaystyle f\) nem a zéruspolinom, jelölje \(\displaystyle \deg_x f\) azt a maximális kitevőt, mellyel \(\displaystyle x\) előfordul \(\displaystyle f\) kifejtett alakjában. Legyen még \(\displaystyle \deg_x 0:=-1\).

Állítás. Ha \(\displaystyle p(x,y)\) és \(\displaystyle q(x,y)\) közös zérushelyeinek halmaza egy \(\displaystyle \infty\) \(\displaystyle H\) halmaz, akkor kiemelhető \(\displaystyle p\)-ből és \(\displaystyle q\)-ból egy olyan \(\displaystyle r(x,y)\) polinom, melynek \(\displaystyle \infty\) sok zérushelye van \(\displaystyle H\)-ban.

Bizonyítás. \(\displaystyle \deg_x p+\deg_x q\) szerinti teljes indukciót alkalmazunk. Ha \(\displaystyle p,q\) egyike, mondjuk \(\displaystyle q\), zéruspolinom, akkor \(\displaystyle r=p\) megfelel. Az indukciós kezdőeset \(\displaystyle \deg_x p+\deg_x q=-2\), mely esetben készen vagyunk.

Készen vagyunk akkor is, ha adott \(\displaystyle y_0\)-lal \(\displaystyle (x,y_0)\in H\) \(\displaystyle \infty\) sok \(\displaystyle x\)-re. Ekkor ugyanis \(\displaystyle p(x,y_0)\equiv 0\), így ha \(\displaystyle p\)-ben \(\displaystyle x\)-kitevő szerint összegyűjtjük a tagokat \(\displaystyle p(x,y)=p_n(y)x^n+\dots+p_0(y)\) alakba, \(\displaystyle (y-y_0)\) látható módon kiemelhető \(\displaystyle p\)-ből, s hasonló módon \(\displaystyle q\)-ból is. Mivel \(\displaystyle H\)-ban \(\displaystyle \infty\) sok zérushelye van, \(\displaystyle r=y-y_0\) megfelel.

Innentől tegyük fel, hogy nem ez a helyzet. Ekkor ha \(\displaystyle f(y)\in\mathbb{R}[y]\) nem konstans polinom, a skatulya-elv miatt csak véges sok \(\displaystyle (x,y)\in H\)-ra lehet zérus.

Feltehető, hogy \(\displaystyle \deg_x p\ge \deg_x q\). Ha \(\displaystyle p(x,y)\)-ból kiindulva \(\displaystyle \mathbb{R}[y]\)-beli polinommal szorozhatunk vagy \(\displaystyle q(x,y)\) polinomszorosát vonhatjuk ki tetszőleges számú lépésben, előbb-utóbb egy

\(\displaystyle U(y)p(x,y)=q(x,y)f(x,y)+r_1(x,y)\)

alakhoz juthatunk, ahol \(\displaystyle \deg_x r_1<\deg_x q\). Mivel \(\displaystyle r_1(x,y)=0\) minden \(\displaystyle (x,y)\in H\)-ra, az indukciós feltevést \(\displaystyle q\)-ra és \(\displaystyle r_1\)-re alkalmazva olyan \(\displaystyle r_2\) adódik, mely egy \(\displaystyle \infty\) \(\displaystyle H'\subset H\) elemein zérus, és melyre \(\displaystyle r_2|q\) és \(\displaystyle r_2|r_1\).

Mivel feltevésünk szerint \(\displaystyle U(y)\) csak véges sok \(\displaystyle H'\)-beli elemre zérus, és \(\displaystyle U\cdot p\) minden \(\displaystyle (x,y)\in H'\)-re zérus, ezért egy \(\displaystyle \infty\) \(\displaystyle H''\subset H'\) halmazon \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle r_2\) is zérus. Az indukciós feltevést ismét alkalmazva, \(\displaystyle r_3\) adódik, mely egy \(\displaystyle \infty\) \(\displaystyle H'''\subset H''\) elemein zérus, és melyre \(\displaystyle r_3|p\) és \(\displaystyle r_3|r_2\). Ekkor \(\displaystyle r=r_3\) megfelelő polinom. \(\displaystyle \blacksquare\)

Az Állítás pedig erősebb, mint a feladat állítása, így a feladat állítása is igaz.

2. megoldás (Schrettner Jakab módszere alapján). Tegyük fel, hogy \(\displaystyle p(x,y)\) és \(\displaystyle q(x,y)\) közös zérushelyeinek halmaza egy végtelen \(\displaystyle H\) halmaz. Esetleg \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) szerepét felcserélve feltehetjük, hogy a \(\displaystyle H\)-beli \(\displaystyle (x,y)\) számpárok \(\displaystyle x\)-értékei között végtelen sokféle fordul elő. Ha \(\displaystyle p\equiv 0\) vagy \(\displaystyle q\equiv 0\), akkor a másik polinomot kiemelve az állítás nyilvánvalóan igaznak adódik.

Csakúgy, mint \(\displaystyle \mathbb{Z}\)-ből \(\displaystyle \mathbb{Q}\), a valós együtthatós polinomok \(\displaystyle \mathbb{R}[x]\) gyűrűjéből képezhetjük a racionális törtfüggvények \(\displaystyle \mathbb{R}(x)\) testjét (melynek elemei tehát az \(\displaystyle \frac{a(x)}{b(x)}\) formális törtek, ahol \(\displaystyle \frac{a(x)}{b(x)}\)-et és \(\displaystyle \frac{c(x)}{d(x)}\)-et azonosnak tekintjük, ha \(\displaystyle a(x)d(x)=b(x)c(x)\)).

A tagokat \(\displaystyle y\) kitevője szerint szétválogatva egy \(\displaystyle P\in\mathbb{R}[x,y]\) polinomot \(\displaystyle \mathbb{R}[x][y]\)-beli (vagyis \(\displaystyle \mathbb{R}[x]\)-beli együtthatós \(\displaystyle y\) változójú) polinomnak tekinthetünk:

\(\displaystyle P(x,y)=P_0(x)+P_1(x)y+\ldots+P_k(x)y^k,\)

ahol \(\displaystyle k\ge 0\) és \(\displaystyle P_k\not\equiv 0\), vagy \(\displaystyle P\equiv 0\). Fő ötletünk, hogy mint ahogy \(\displaystyle \mathbb{Z}[x]\)-beli polinomokat \(\displaystyle \mathbb{Q}[x]\)-ben szokás vizsgálni, ezúttal \(\displaystyle \mathbb{R}[x][y]\) helyett \(\displaystyle \mathbb{R}(x)[y]\)-ban vizsgálódunk.

A \(\displaystyle p(x,y)\) és \(\displaystyle q(x,y)\) polinomokat ily módon \(\displaystyle \mathbb{R}(x)[y]\)-beli polinomokként értelmezve, végezzünk euklideszi algoritmust! Tehát az algoritmus során ismételten egy \(\displaystyle \{f,g\}\) párból, ahol \(\displaystyle k=\deg_y f\ge \deg_y g=\ell\) és \(\displaystyle f=f_k(x)y^k+\dots\), \(\displaystyle g=g_\ell(x)y^\ell+\dots\), a következő párt képezzük: \(\displaystyle \left\{g,f-\frac{f_k}{g_\ell}y^{k-\ell}g\right\}\). Mivel a párok \(\displaystyle y\)-fokszámainak összege minden lépésben csökken, néhány lépés után egy \(\displaystyle \{r_1,0\}\) párhoz jutunk, ahol \(\displaystyle r_1\not\equiv 0\), hisz sem \(\displaystyle p\), sem \(\displaystyle q\) nem konstans. Ekkor \(\displaystyle r_1|p\) és \(\displaystyle r_1|q\) teljesül \(\displaystyle \mathbb{R}(x)[y]\)-ban, továbbá az algoritmust lekövetve előállítottuk \(\displaystyle r_1\)-et alkalmas \(\displaystyle a,b\in\mathbb{R}(x)\) mellett

\(\displaystyle r_1(x,y)=a(x)p(x,y)+b(x)q(x,y)\)

alakban. Felszorozva a törtfüggvények nevezőivel, alkalmas \(\displaystyle r_2\in\mathbb{R}[x,y]\) mellett \(\displaystyle r_1(x,y)=\frac{r_2(x,y)}{\alpha(x)}\) alakú, illetve

\(\displaystyle r_2(x,y)=A(x)p(x,y)+B(x)q(x,y)\)

teljesül \(\displaystyle \mathbb{R}[x,y]\)-ban. Utóbbi formális egyenletbe \(\displaystyle H\) elemeit helyettesítve kapjuk, hogy \(\displaystyle H\) minden eleme \(\displaystyle r_2(x,y)\)-nak zérushelye. Itt használjuk fel, hogy \(\displaystyle H\)-ban végtelen sokféle \(\displaystyle x\)-érték van: emiatt \(\displaystyle r_2(x,y)\notin \mathbb{R}(x)\), hisz \(\displaystyle r_2\) definíció szerint nem zérus.

Eddig csak azt tudjuk, hogy alkalmas \(\displaystyle u(x),v(x)\in\mathbb{R}[x]\) polinomokra \(\displaystyle r_2(x,y)|p(x,y)u(x)\) és \(\displaystyle r_2(x,y)|q(x,y)v(x)\). A befejezéshez definiáljuk minden

\(\displaystyle P(x,y)=P_0(x)+P_1(x)y+\ldots+P_k(x)y^k\)

alakbeli nem zérus \(\displaystyle P\in\mathbb{R}[x][y]\)-hoz a

\(\displaystyle c(P)=\text{gcd}\big(P_0(x),\ldots,P_k(x)\big)\)

polinomot, ahol \(\displaystyle \text{gcd}\) a megfelelő polinomok \(\displaystyle 1\) főegyütthatójú legnagyobb közös osztóját jelöli, amely az euklideszi algoritmus miatt létezik, továbbá egyértelmű is. Ekkor ha \(\displaystyle c(P)=1\) és \(\displaystyle c(Q)=1\), akkor meggondolható, hogy \(\displaystyle c(P\cdot Q)=1\). Egyszerűen adódik ebből, hogy \(\displaystyle c(PQ)=c(P)c(Q)\).

Leosztva \(\displaystyle r_2\in\mathbb{R}[x][y]\) együtthatóit \(\displaystyle c(r_2)\)-vel olyan \(\displaystyle r(x,y)\) polinom adódik, melyre \(\displaystyle c(r)=1\). Ekkor mivel \(\displaystyle r|pu\), vagyis \(\displaystyle r(x,y)p^*(x,y)=p(x,y)u(x)\), ezért \(\displaystyle c(r)c(p^*)=c(p)c(u)\), s így \(\displaystyle u|p^*\); leosztva \(\displaystyle u(x)\)-szel \(\displaystyle r(x,y)|p(x,y)\) adódik. Hasonlókképpen kapjuk, hogy \(\displaystyle r(x,y)|q(x,y)\).

Ezzel megkonstruáltuk \(\displaystyle p(x,y)\) és \(\displaystyle q(x,y)\)-nak egy közös \(\displaystyle r(x,y)\) osztóját.

3. megoldás (Bukva Balázs ötlete alapján). Ismét feltesszük, hogy \(\displaystyle H\)-ban végtelen sokféle \(\displaystyle x\)-érték fordul elő, és hogy \(\displaystyle p,q\) nem konstans.

Bontsuk \(\displaystyle p(x,y)\)-t \(\displaystyle \mathbb{R}[x,y]\)-ban irreducibilis tényezők szorzatára! (Ez a felbontás egyértelmű is, de erre nem lesz szükségünk.) Ekkor \(\displaystyle p(x,y)\) minden zérushelye valamely tényező zérushelye, így skatulya-elv szerint \(\displaystyle q(x,y)\)-nak valamelyik tényezővel végtelen sok közös zérushelye van. Így elegendő \(\displaystyle p(x,y)\) helyett ezen tényezővel foglalkoznunk, vagyis feltehetjük, hogy \(\displaystyle p(x,y)\) irreducibilis. Hasonlóan feltehetjük, hogy \(\displaystyle q(x,y)\) is irreducibilis.

Tekintsünk ismét \(\displaystyle \mathbb{R}[x][y]\subset \mathbb{R}(x)[y]\)-beli polinomokként tekintve \(\displaystyle p\)-re és \(\displaystyle q\)-ra! Mivel \(\displaystyle \mathbb{R}[x]\) olyan gyűrű, melyben bármely két elemnek van legnagyobb közös osztója (ezúttal az euklideszi algoritmus garantál legnagyobb közös osztót), ezért alkalmazhatjuk a Gauss-lemmát, mely szerint \(\displaystyle p(x,y)\) és \(\displaystyle q(x,y)\) az \(\displaystyle \mathbb{R}(x)[y]\) polinomgyűrűben is irreducibilis.

Most \(\displaystyle \mathbb{R}(x)[y]\)-ban végezve euklideszi algoritmust, előállítható \(\displaystyle p,q\)-nak egy \(\displaystyle r_1\in\mathbb{R}(x)[y]\) legnagyobb közös osztója. Mivel \(\displaystyle p,q\) \(\displaystyle \mathbb{R}(x)[y]\)-ban irreducibilisek, ezért két eset lehetséges: \(\displaystyle (1)\) \(\displaystyle r_1\in\mathbb{R}(x)\) (polinomgyűrűbeli) nem nulla konstans, vagy pedig \(\displaystyle (2)\) \(\displaystyle p,q\) egymás \(\displaystyle \mathbb{R}(x)\)-beli törtfüggvényszeresei.

Az \(\displaystyle (1)\) esetben az euklideszi algoritmus révén alkalmas \(\displaystyle a,b,d\in\mathbb{R}[x]\)-re

\(\displaystyle a(x)p(x,y)+b(x)q(x,y)=d(x).\)

Ekkor \(\displaystyle p,q\) közös zérushelyeinek \(\displaystyle x\)-értékeinél \(\displaystyle d(x)\) zérus, ami ellentmondás, mert feltettük, hogy végtelen sok ilyen \(\displaystyle x\) lehet, de \(\displaystyle d\not\equiv 0\).

A \(\displaystyle (2)\) esetben \(\displaystyle p(x,y)u(x)=q(x,y)v(x)\) alkalmas \(\displaystyle u,v\in\mathbb{R}[x]\)-re. Jegyezzük meg, hogy \(\displaystyle p,q\notin \mathbb{R}[x]\), mert \(\displaystyle H\)-ban végtelen sokféle \(\displaystyle x\)-érték szerepel. Ekkor \(\displaystyle c(p)c(u)=c(q)c(v)\) alakban használva a Gauss-lemmát, és \(\displaystyle p,q\in\mathbb{R}[x][y]\) irreducibilitásából \(\displaystyle c(p)=c(q)=1\)-et használva, kapjuk, hogy valójában \(\displaystyle p(x,y)=\lambda q(x,y)\) valamilyen \(\displaystyle \lambda\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\)-ra. (Más megfogalmazásban: mivel \(\displaystyle \mathbb{R}[x,y]\)-ben érvényes a számelmélet alaptétele, ezért \(\displaystyle p(x,y),q(x,y)\) egymás asszociáltja kell legyen.)

Ezzel mindkét esetben beláttuk az állítást.

Megjegyzés. Ennek a megjegyzésnek a célja a feladathoz kapcsolódó háttérelmélet precíz tisztázása. Hogy fókuszált maradhasson a tárgyalás, sok-sok egyszerű állítás meggondolását hagyjuk az Olvasóra.

Legyen \(\displaystyle R\) (kommutatív, egységelemes) gyűrű, mint például \(\displaystyle \mathbb{Z}\), vagy \(\displaystyle \mathbb{Z}/15\mathbb{Z}\) (az egészek modulo \(\displaystyle 15\)), vagy \(\displaystyle \mathbb{R}\), vagy akár egy \(\displaystyle H\) halmaz részhalmazainak halmaza a szimmetrikus differencia (\(\displaystyle \triangle\)) és metszetképzés (\(\displaystyle \cap\)) műveletekkel.

Ekkor az \(\displaystyle R[X]\) polinomgyűrű azon \(\displaystyle R\)-beli elemekből képezhető végtelen \(\displaystyle (a_0,a_1,\ldots)\) sorozatok halmaza, melyekben csak véges sok tag értéke nem \(\displaystyle 0\). Ezen gyűrűben az összeadás tagonként végzendő, továbbá a szorzás megadása

\(\displaystyle (a_0,a_1,\ldots)\cdot (b_0,b_1,\ldots):=(a_0b_0,a_0b_1+a_1b_0,\ldots,a_0b_k+a_1b_{k-1}+\dots+a_kb_0,\ldots).\)

Ha az \(\displaystyle f(X)=a_0+a_1X+\ldots:=(a_0,a_1,\ldots)\) jelölést alkalmazzuk, a polinomokon végzett műveletek éppen megfelelnek a jól megszokott számítási szabályoknak. (Ezt értjük, mikor egy azonosságot nem csak számok egyenlőségének, hanem formális azonosságnak nevezünk.) Másképp kifejezve, minden \(\displaystyle \alpha\in R\)-re az \(\displaystyle R[X]\to R\), \(\displaystyle f(X)\mapsto f(\alpha)\) leképezés homomorfizmus.

Nyilvánvaló, de ellenőrizendő, hogy két ilyen sorozat összege vagy szorzata is a polinomgyűrű eleme, hogy az ily módon megadott összeadás a \(\displaystyle (0,0,\ldots)\) zéruselemmel Abel-csoportot alkot, hogy a szorzás asszociatív, illetve hogy a szorzás az összeadásra nézve disztributív.

Megjegyzendő, hogy általában a számunkra érdekes \(\displaystyle R\) gyűrűk olyanok, hogy \(\displaystyle (R\setminus\{0\},\cdot)\)-ban a szorzás nem csak asszociatív, hanem kommutatív és egységelemes is (kivétel ez alól pl. az \(\displaystyle n\times n\)-es mátrixok gyűrűje). Ilyenkor \(\displaystyle R[X]\) is kommutatív és egységelemes. Sőt, tipikusan gyűrűinkben nincs két olyan nem nulla elem, \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\), melyre \(\displaystyle a\cdot b=0\), vagyis gyűrűink integritási tartományok; ezt ezentúl feltesszük.

Legyen \(\displaystyle f=(a_0,a_1,\ldots)\in R[X]\) nem zéruspolinom. Ekkor a legnagyobb indexet, melyre \(\displaystyle a_n\neq 0\), \(\displaystyle f\) fokszámának nevezzük. Ha \(\displaystyle f\) fokszáma \(\displaystyle n\) és \(\displaystyle g\) fokszáma \(\displaystyle m\), akkor \(\displaystyle f\cdot g\) fokszáma \(\displaystyle n+m\), feltéve, hogy \(\displaystyle R\) integritási tartomány. (Egyéb esetben a főegyütthatók szorzata \(\displaystyle 0\) is lehet.) Tehát ha \(\displaystyle R\) integritási tartomány, akkor \(\displaystyle R[X]\) is az. Ezért polinomegyenletet le szabad osztani: \(\displaystyle p(x)a(x)=p(x)b(x)\)-ből \(\displaystyle p(x)\equiv 0\) vagy \(\displaystyle a(x)=b(x)\) következik.

Az integritási tartományok szerkezetét a szorzás viselkedése szempontjából szokás vizsgálni. Jelölje \(\displaystyle R^\times\) az \(\displaystyle R\) multiplikatív inverzzel rendelkező elemeinek, ún. egységeinek halmazát: például ha \(\displaystyle R^\times=R\setminus\{0\}\), akkor \(\displaystyle R\) test. Ezt a gondolatot kiterjeszthetjük: minden \(\displaystyle R\) integritási tartományból képezhetünk \(\displaystyle F\) hányadostestet, mint ahogy \(\displaystyle \mathbb{Z}\)-ből \(\displaystyle \mathbb{Q}\) képezhető.

Emellett azt mondjuk, hogy \(\displaystyle r\in R\) irreducibilis, ha \(\displaystyle r\neq 0\), \(\displaystyle r\notin R^\times\), továbbá \(\displaystyle r=ab\) (\(\displaystyle a,b\in R\)) csak \(\displaystyle a\in R^\times\) vagy \(\displaystyle b\in R^\times\) mellett lehetséges. Bizonyos integritási tartományokban minden nem \(\displaystyle 0\) és nem \(\displaystyle R^\times\)-beli elem felbontható irreducibilis elemek szorzatára (ennek mélyén általában az ACC áll). Nyilván egy ilyen szorzattá bontásból másik készíthető az irreducibilis elemek különféle egységekkel való szorozgatásával és a tényezők sorrendjének átrendezésével; ha ettől eltekintve az irreducibilis tényezőkre bontás egyértelmű, UFD-ről (unique factorization domain) beszélünk. Például \(\displaystyle \mathbb{Z}\) egy UFD, ezt állítja a számelmélet alaptétele.

Hasonlóképpen definiálhatunk tetszőleges számú változón polinomgyűrűt: az \(\displaystyle R[X_1,\ldots,X_n]\) polinomgyűrű elemei \(\displaystyle \sum_{k_1,\dots,k_n\ge 0}a_{k_1,\dots,k_n}X_1^{k_1}\dots X_n^{k_n}\) alakú véges összegként elképzelhető \(\displaystyle (a_{k_1,\dots,k_n})\) sorozatok halmaza, értelemszerű \(\displaystyle +\) és \(\displaystyle \cdot\) művelettel. (Ha változóink \(\displaystyle \{X_i:i\in I\}\) halmaza végtelen, az összes közülük választható véges változó polinomgyűrűjének uniója veendő.) Könnyen látható, de ellenőrizendő, hogy \(\displaystyle R[X_1,X_2,\ldots,X_n]\cong R[X_1][X_2]\dots[X_n]\).

Megadható egy \(\displaystyle R[X_1,\ldots,X_n]\)-beli nem zérus \(\displaystyle f\) polinom fokszáma:

\(\displaystyle \deg f:=\max\big\{k_1+\ldots+k_n\, |\, a_{k_1,\dots,k_n}\neq 0\big\}.\)

Ekkor meggondolható, hogy \(\displaystyle \deg(fg)=\deg f+\deg g\). Emiatt \(\displaystyle R[X_1,\ldots,X_n]\) integritástartomány.

Fontos tétel, hogy ha \(\displaystyle R\) UFD, akkor \(\displaystyle R[X]\) is UFD. Ehhez, feltéve, hogy \(\displaystyle R\) UFD, előbb legyen nem zérus \(\displaystyle f\in R[X]\)-hez \(\displaystyle c(f)\) az \(\displaystyle f\) együtthatóinak legnagyobb közös osztóinak halmaza. (A legnagyobb közös osztó az irreducibilis felbontásból olvasható ki, és azért beszélünk halmazről, mert nincs feltétlenül kitüntetett szerepű egységszeres.) Belátható, hogy ha \(\displaystyle c(f)=c(g)=R^\times\), akkor \(\displaystyle c(fg)=R^\times\) (Gauss-lemma). Ebből \(\displaystyle c(fg)=c(f)\cdot c(g)\) adódik, ahol a halmazszorzás elemenként történik. Ezt a technikai eszközt felhasználva levezethető, hogy \(\displaystyle R[X]\) UFD, abból, hogy \(\displaystyle F[X]\) UFD, ahol \(\displaystyle F\) az \(\displaystyle R\) hányadostestje; utóbbi pedig az euklideszi algoritmusból adódik.

Ezzel pedig megkaptuk, hogy \(\displaystyle R[X_1,X_2,\ldots,X_n]\) s így bármilyen polinomgyűrű UFD.

Statisztika:

9 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Gáspár Attila, Matolcsi Dávid, Schrettner Jakab.
4 pontot kapott:	Bukva Balázs, Németh 123 Balázs.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2018. februári matematika feladatai