Az A. 736. feladat (2018. november)

A. 736. Legyen \(\displaystyle P\) egy pont az \(\displaystyle ABC\) háromszög síkjában. Jelölje az \(\displaystyle A,B,C\) pontok \(\displaystyle P\)-re vonatkozó tükörképét rendre \(\displaystyle A'\), \(\displaystyle B'\), illetve \(\displaystyle C'\). Legyen \(\displaystyle A''\), \(\displaystyle B''\) és \(\displaystyle C''\) rendre az \(\displaystyle A'\), \(\displaystyle B'\), \(\displaystyle C'\) tükörképe a \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CA\), illetve \(\displaystyle AB\) egyenesre. Legyen az \(\displaystyle A''B''\) és az \(\displaystyle AC\) egyenes metszéspontja \(\displaystyle A_b\), és legyen az \(\displaystyle A''C''\) és az \(\displaystyle AB\) egyenes metszéspontja \(\displaystyle A_c\). Jelölje \(\displaystyle \omega_A\) az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle A_b\), \(\displaystyle A_c\) pontokon átmenő kört. Az \(\displaystyle \omega_B\) és \(\displaystyle \omega_C\) köröket hasonlóan definiáljuk. Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle \omega_A\), \(\displaystyle \omega_B\), és \(\displaystyle \omega_C\) koaxiálisak, vagyis közös hatványvonaluk van.

Javasolta: Navneel Singhal, Delhi és K. V. Sudharshan, Csennai, India

(7 pont)

A beküldési határidő 2018. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Feltesszük, hogy a feladatban megadott pontok mind különbözőek. Mivel \(\displaystyle AA_b\) az \(\displaystyle AC\), \(\displaystyle AA_c\) az \(\displaystyle AB\) egyenessel esik egybe, a három pont nem egy egyenesre illeszkedik, így valóban egy kört határoz meg.

A feladat geometriai tartalma az alábbi állítás.

Állítás. \(\displaystyle ABC\) és \(\displaystyle A''B''C''\) háromszögek hasonlóak és ellentétes körüljárásúak.

Bizonyítás. Az \(\displaystyle ABC\) körülírt körének \(\displaystyle O\) középpontját érdemes kijelölni: mint egy ábráról megsejthető, \(\displaystyle O\) az \(\displaystyle A''B''C''\) kör középpontja is.

Ha az \(\displaystyle \overrightarrow{OA''}\)-t a \(\displaystyle BC\)-re tükrözzük, az \(\displaystyle \overrightarrow{O_AA'}\) adódik, ahol \(\displaystyle O_A\) az \(\displaystyle O\) tükörképe \(\displaystyle BC\)-re. Hasonlóan, \(\displaystyle \overrightarrow{OB''}\) tükörképe \(\displaystyle AC\)-re \(\displaystyle \overrightarrow{O_BB'}\). Belátjuk, hogy ez a két vektor azonos: \(\displaystyle \overrightarrow{O_AA'}=\overrightarrow{O_BB'}=:\mathbb{v}\). (Innen például \(\displaystyle OA''=OB''\).)

Legyen \(\displaystyle BC\) és \(\displaystyle AC\) felezőpontja \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle E\). Ekkor \(\displaystyle D,E\) éppen \(\displaystyle O\) vetülete \(\displaystyle BC,AC\)-re, mert \(\displaystyle O\) a megfelelő oldalak felezőmerőlegesére illeszkedik. Emiatt \(\displaystyle O\)-ból \(\displaystyle 2\)-szeres nagyítással \(\displaystyle \overrightarrow{O_AO_B}=2\overrightarrow{DE}\). Mivel \(\displaystyle DE\) középvonal \(\displaystyle ABC\)-ben, \(\displaystyle 2\overrightarrow{DE}=-\overrightarrow{AB}\). A \(\displaystyle P\)-re tükrözés miatt \(\displaystyle -\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A'B'}\). Tehát \(\displaystyle \overrightarrow{O_AO_B}=\overrightarrow{A'B'}\), amit átrendezve: \(\displaystyle \overrightarrow{O_AA'}=\overrightarrow{O_BB'}\).

A tükrözések miatt

\(\displaystyle \sphericalangle(\mathbb{v},\overrightarrow{OA''})=2\sphericalangle(\mathbb{v},\overrightarrow{CB}),\qquad \sphericalangle(\mathbb{v},\overrightarrow{OB''})=2\sphericalangle(\mathbb{v},\overrightarrow{CA}).\)

Ezeket kivonva egymásból:

\(\displaystyle \sphericalangle(\overrightarrow{OA''},\overrightarrow{OB''})=2\sphericalangle(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CA})=-\sphericalangle(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}),\)

ahol utóbbi egyenlőségben a kerületi és középponti szögek tételét alkalmaztuk. A gondolatmenetet az összes lehetséges csúcspárra elvégezve megkapjuk, hogy \(\displaystyle A''B''C''\) háromszög körülírt körének középpontja \(\displaystyle O\), és középponti szögei olyanok, hogy \(\displaystyle ABC\)-hez hasonló s vele ellentétes állású legyen. \(\displaystyle \blacksquare\)

Ezt követően számításos módszereket fogunk kidolgozni, majd azokat alkalmazzuk.

Ha egy \(\displaystyle (u,v)\) középpontú, \(\displaystyle r\) sugarú kör egyenletét a koordináta-síkon felírhatjuk

\(\displaystyle k(x,y)=(x-u)^2+(y-v)^2-r^2=0\)

alakban, tehát egy \(\displaystyle k(x,y)\) polinom segítségével. A sík bármely \(\displaystyle P\) pontjának koordinátáit behelyettesítve, a \(\displaystyle P\) pont \(\displaystyle k\)-ra vonatkozó hatványát kapjuk, a \(\displaystyle k(P)\) mennyiséget. Ezt az euklideszi geometriával (melynek módszerei: szakaszok, szögek, hasonlóság, arányok vizsgálata, illetve körzős-vonalzós szerkesztés) a szelőtétel köti össze: ha egy \(\displaystyle P\)-n áthaladó egyenes az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pontokban metszi a \(\displaystyle k\) kört, akkor

\(\displaystyle k(P)=\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB},\)

ahol a szorzat előjelességét vektoros felírással hangsúlyoztuk. Azt fogjuk belátni, hogy alkalmas \(\displaystyle \lambda\) valós számmal

\(\displaystyle \omega_B(x,y)-\lambda \omega_C(x,y)=0\)

teljesül \(\displaystyle A,A_b,A_c\) pontokra. Ekkor ugyanis az \(\displaystyle A,A_b,A_c\) pontok mind teljesítik az

\(\displaystyle \big(\omega_B(x,y)-\omega_A(x,y)\big)-\lambda\big(\omega_C(x,y)-\omega_A(x,y)\big)=0\)

egyenletet, ami \(\displaystyle Kx+Ly+M=0\) alakú. Mivel \(\displaystyle A,A_b,A_c\) nem egy egyenesre illeszkedik, így ebből \(\displaystyle K=L=M=0\) következik, tehát az egyenlet formális azonosság. Mivel pedig \(\displaystyle k\) és \(\displaystyle \ell\) körök hatványvonalának egyenlete \(\displaystyle k(x,y)-\ell(x,y)=0\), ezért emiatt \(\displaystyle \omega_A,\omega_B\) és \(\displaystyle \omega_A,\omega_C\) hatványvonala egybeesik (ennek megállapításához \(\displaystyle \lambda\neq 0\) is kell: \(\displaystyle \omega_A\neq \omega_B\), mert a két kör más pontpárokban metszi az \(\displaystyle AB\) egyenest). A hatványok megegyezése miatt ez \(\displaystyle \omega_B,\omega_C\) hatványvonala is, így a három körnek közös hatványvonala lesz.

Az \(\displaystyle A,A_b,A_c\) pontok \(\displaystyle \omega_B\)-re és \(\displaystyle \omega_C\)-re vonatkozó hatványai pedig könnyen felírhatók:

\(\displaystyle \omega_B(A)=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AB_c},\qquad\qquad \omega_C(A)=\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AC_b} \)

\(\displaystyle \omega_B(A_b)=\overrightarrow{A_bB_a}\cdot \overrightarrow{A_bB''},\qquad\qquad \omega_C(A_b)=\overrightarrow{A_bC}\cdot \overrightarrow{A_bC_b} \)

\(\displaystyle \omega_B(A_c)=\overrightarrow{A_cB}\cdot \overrightarrow{A_cB_c},\qquad\qquad \omega_C(A_c)=\overrightarrow{A_cC_a}\cdot \overrightarrow{A_cC''}.\)

Elég tehát belátnunk, hogy

(a nevezők nyilván nem nullák), hiszen akkor ugyanezt az okfejtést \(\displaystyle ABC\) helyett \(\displaystyle ACB\) háromszögre elvégezve \(\displaystyle \frac{\omega_C(A)}{\omega_B(A)}=\frac{\omega_C(A_c)}{\omega_B(A_c)}\) adódik, ezért \(\displaystyle A,A_b,A_c\)-nek \(\displaystyle \omega_B,\omega_C\)-re vett hatványainak aránya megegyezik s így megadja a kívánt \(\displaystyle \lambda\) számot. Ehhez a szinusztételt fogjuk felhasználni, azonban az ábra lehetséges állásai miatt egy kevéssé ismert előjeles változatával fogunk dolgozni.

Jelölje a \(\displaystyle BC,CA,AB,B''C'',C''A'',A''B''\) egyeneseket rendre \(\displaystyle a,b,c,a'',b'',c''\), és irányítsuk meg őket! Az \(\displaystyle e\) egyenes megirányítása matematikailag azt jelenti, hogy választunk \(\displaystyle e\)-hez egy \(\displaystyle e\)-vel párhuzamos \(\displaystyle \mathbb{e}\) egységvektort. Ekkor ha \(\displaystyle X,Y\in e\), akkor az \(\displaystyle XY\) irányított távolság az a valós szám, melyre \(\displaystyle \overrightarrow{XY}=XY\cdot \mathbb{e}\).

A szinusztételt az euklideszi geometriában körbe írt háromszögre (is) szokás bizonyítani, azonban ezúttal irányított egyenesekre vonatkozó tételként bizonyítjuk. Definiáljuk az \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) irányított egyenesekre az \(\displaystyle \mathbb{a},\mathbb{b}\) irányvektorok segítségével az

\(\displaystyle \sin(ab)=a_1b_2-a_2b_1\)

mennyiséget. A szinusz addíciós képletéből adódóan ez az \(\displaystyle \mathbb{a},\mathbb{b}\) által bezárt forgásszög szinusza: ha \(\displaystyle \mathbb{a}=(\cos\alpha,\sin\alpha)\) és \(\displaystyle \mathbb{b}=(\cos\beta,\sin\beta)\) valamilyen \(\displaystyle \alpha,\beta\in\mathbb{R}\)-re, akkor \(\displaystyle \sin(ab)=\sin(\beta-\alpha)\). Hogyha pedig síkunkat a \(\displaystyle z=0\) síkként \(\displaystyle \mathbb{R}^3\)-be ültetjük, ez éppen az \(\displaystyle \mathbb{a}\times \mathbb{b}\) vektoriális szorzat \(\displaystyle z\)-koordinátája. Ily módon \(\displaystyle a,b,c\) irányított egyenesek esetén a szinusztétel az alábbi módon nyerhető (\(\displaystyle A=b\cap c,B=c\cap a,C=a\cap b\)):

\(\displaystyle \mathbb{0}=\mathbb{a}\times \overrightarrow{BC}=\mathbb{a}\times \left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\mathbb{a}\times (AC\cdot \mathbb{b})-\mathbb{a}\times (AB\cdot \mathbb{c}),\)

melyben a harmadik koordinátákat leolvasva:

\(\displaystyle 0=AC\sin(ab)-AB\sin(ac),\qquad \text{azaz}\qquad \frac{\sin(ab)}{\sin(ac)}=\frac{AB}{AC}.\)

(Talán elegánsabban látszik a szimmetria, ha területvektorral ügyeskedünk:

\(\displaystyle -AB\cdot AC\cdot (\mathbb{b}\times \mathbb{c}) =\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(B-A)\times (C-A)=A\times B+B\times C+C\times A.)\)

Mivel a megfelelő szakaszok irányított egyeneseinkre esnek, \(\displaystyle (1)\)-et előjeles szakaszokkal kiírhatjuk:

Szinusztételeket felírva:

\(\displaystyle \frac{AB}{AC}=\frac{\sin(ab)}{\sin(ac)},\quad \frac{AB_c}{AC_b}=\frac{\sin(a''b)}{\sin(a''c)},\quad \frac{A_bB_a}{A_bC}=\frac{\sin(ab)}{\sin(ac'')},\quad \frac{A_bB''}{A_bC_b}=\frac{\sin(a''b)}{\sin(a''c'')}.\)

A \(\displaystyle (2)\)-be mindezt beírva, már csupán annyit kell belátnunk, hogy

Ha \(\displaystyle \sin(xy)\) kifejezésben \(\displaystyle x\) vagy \(\displaystyle y\) egyenes irányítását megfordítjuk, akkor \(\displaystyle \sin(t+\pi)=-\sin t\) okán a kifejezés előjelet vált: emiatt \(\displaystyle (3)\) teljesülése nem függ az egyenesek irányításától. A \(\displaystyle (3)\) azonosság pedig igaz, ha \(\displaystyle \mathbb{a},\mathbb{c},\mathbb{a''},\mathbb{c''}\) rendre \(\displaystyle \theta,\theta+\delta,\varphi,\varphi-\delta\) forgásszöggel paraméterezhető. Ez az azonosság tehát következik abból, hogy \(\displaystyle ABC\) és \(\displaystyle A''B''C''\) hasonló és ellentétes irányítású, és ezzel készen vagyunk.

Statisztika:

2 dolgozat érkezett.
7 pontot kapott:	Schrettner Jakab, Weisz Máté.

A KöMaL 2018. novemberi matematika feladatai