Az A. 805. feladat (2021. szeptember)

A. 805. Az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszögben a magasságvonalak talppontjai a szokásos jelölésekkel \(\displaystyle A_1\), \(\displaystyle B_1\), illetve \(\displaystyle C_1\) (a \(\displaystyle BC\), a \(\displaystyle CA\), illetve az \(\displaystyle AB\) oldalon). Az \(\displaystyle AB_1C_1\) és a \(\displaystyle BC_1A_1\) háromszögek körülírt köre az \(\displaystyle ABC\) háromszög körülírt körét másodszor a \(\displaystyle P\ne A\), illetve a \(\displaystyle Q\ne B\) pontban metszi. Igazoljuk, hogy az \(\displaystyle AQ\) és a \(\displaystyle BP\) egyenes, valamint az \(\displaystyle ABC\) háromszög Euler-egyenese egy ponton megy át vagy párhuzamos egymással.

Javasolta: Kós Géza (Budapest)

(7 pont)

A beküldési határidő 2021. október 11-én LEJÁRT.

1. megoldás Jelölje \(\displaystyle H\) az \(\displaystyle ABC\) háromszög magasságpontját. Számoljunk szögeket!
Legyen a szokásos módon \(\displaystyle \gamma=ACB \sphericalangle\).
\(\displaystyle BPA\sphericalangle=180^{\circ}-\gamma\) és \(\displaystyle HPA\sphericalangle=180^{\circ}-AB_1H\sphericalangle=90^{\circ}\), így
\(\displaystyle BPH\sphericalangle=BPA\sphericalangle-HPA\sphericalangle=90^{\circ}-\gamma\).

Jelölje \(\displaystyle O\) az \(\displaystyle ABC\) háromszög köréírt körének középpontját és \(\displaystyle M\) az \(\displaystyle AHQ\) és \(\displaystyle BHP\) háromszögek köréírt köreinek második metszéspontját. Ekkor \(\displaystyle BMH\sphericalangle=BPH\sphericalangle=90^{\circ}-\gamma\) és logikai szimmetria miatt \(\displaystyle HMA\sphericalangle=90^{\circ}-\gamma\). Ezek alapján \(\displaystyle BMA \sphericalangle=180^{\circ}-2\gamma\). Tudjuk, hogy \(\displaystyle AOB \sphericalangle=2\gamma\), így \(\displaystyle AOB\sphericalangle+BMA\sphericalangle=180^{\circ}\), tehát az \(\displaystyle A,O,B,M\) pontok egy körön fekszenek. A korábbi számításokból az is látszik, hogy az \(\displaystyle MH\) egyenes felezi a \(\displaystyle BMA\) szöget, így áthalad a \(\displaystyle BMA\) köréírt körén lévő, az \(\displaystyle M\)-t nem tartalmazó \(\displaystyle AB\) ív felezőpontján. Ám ezen a körön van rajta \(\displaystyle O\), és \(\displaystyle AO=BO\), így ez az ívfelezőpont éppen \(\displaystyle O\), tehát \(\displaystyle M,H\) és \(\displaystyle O\) egy egyenesre esik, ami pont azt jelenti, hogy \(\displaystyle M\) rajta van az \(\displaystyle ABC\) háromszög Euler-egyenesén.

Tekintsük az \(\displaystyle ABC\), \(\displaystyle AHQ\) és \(\displaystyle BHP\) körök hatványvonalait. Ezek az \(\displaystyle AQ\), \(\displaystyle BP\) és \(\displaystyle MH\) egyenesek. Tudjuk, hogy ezek egy ponton mennek át, és láttuk, hogy \(\displaystyle MH\) az Euler-egyenes, így bizonyítottuk az állítást.

2. megoldás Nevezzük \(\displaystyle H\)-nak az \(\displaystyle ABC\) háromszög magasságpontját. Thálesz-tétel miatt \(\displaystyle H\) rajta van az \(\displaystyle AB_1C_1\) és \(\displaystyle BC_1A_1\) háromszögek körülírt körén is, méghozzá \(\displaystyle H\) az \(\displaystyle A\)-val illetve \(\displaystyle B\)-vel szemköztes pont ezeken a körökön. Ebből megint csak Thálesz-tétel miatt következik, hogy \(\displaystyle APH\sphericalangle=BQH\sphericalangle=90^\circ\). Legyen \(\displaystyle ABC\) köréírt körének középpontja \(\displaystyle O\) és legyen a köréírt körön \(\displaystyle A\)-val szemközti pont \(\displaystyle A'\), és a \(\displaystyle B\)-vel szemközti pont \(\displaystyle B'\). Ekkor Thálesz-tétel miatt \(\displaystyle H\) rajta van a \(\displaystyle PA'\) és \(\displaystyle QB'\) egyeneseken.

Az is világos, hogy az \(\displaystyle AA'\) és \(\displaystyle BB'\) átmérők is átmennek az \(\displaystyle O\) középponton. Alkalmazzuk a Pascal-tételt a körön fekvő \(\displaystyle AQB'BPA'\) (hurkolt) hatszögre.

Ebből az következik, hogy \(\displaystyle V=AQ\cap BP\), \(\displaystyle H=QB'\cap PA'\) és \(\displaystyle O=B'B\cap A'A\) pontok egy egyenesre esnek projektív geometriai értelemben (azaz vagy egy egyenesre esnek, vagy \(\displaystyle AQ\) és \(\displaystyle BP\) párhuzamosak, ekkor a metszetük az ideális pont, és az \(\displaystyle OH\) egyenes párhuzamos \(\displaystyle AQ\)-val és \(\displaystyle BP\)-vel).

Vagyis \(\displaystyle AQ, BP\) és a háromszög Euler-egyenese, \(\displaystyle OH\), valóban egy ponton mennek át vagy párhuzamosak.

Statisztika:

12 dolgozat érkezett.
7 pontot kapott:	Bán-Szabó Áron, Bognár 171 András Károly, Diaconescu Tashi, Lovas Márton, Molnár-Szabó Vilmos, Móra Márton Barnabás, Nádor Benedek, Seres-Szabó Márton, Sztranyák Gabriella, Varga Boldizsár.
6 pontot kapott:	Török Ágoston.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2021. szeptemberi matematika feladatai