Az A. 845. feladat (2023. február)

A. 845. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt köre a \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CA\), \(\displaystyle AB\) oldalakat rendre a \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\) pontokban érinti. Jelölje \(\displaystyle A'\) azt a pontot a beírt körön, melyre az \(\displaystyle A'BC\) háromszög körülírt köre érinti a beírt kört. Hasonlóan definiáljuk a \(\displaystyle B'\) és \(\displaystyle C'\) pontot. Igazoljuk, hogy az \(\displaystyle A'D\), \(\displaystyle B'E\) és \(\displaystyle C'F\) egyenesek átmennek egy ponton.

Javasolta: Bán-Szabó Áron (Budapest)

(7 pont)

A beküldési határidő 2023. március 10-én LEJÁRT.

Húzzuk meg a beírt kör és az \(\displaystyle A'BC\) kör közös érintőjét az \(\displaystyle A'\) pontban, és ez az egyenes a \(\displaystyle BC\) oldal egyenesét messe az \(\displaystyle X\) pontban. Belátjuk, hogy \(\displaystyle X\) pont rajta van az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt és körülírt körének hatványvonalán. Ez azonnal adódik, hiszen \(\displaystyle X\) a beírt kör, a körülírt kör és az \(\displaystyle A'BC\) kör hatványpontja: rajta van az \(\displaystyle A'BC\) kör és a beírt kör hatványvonalán, amely az \(\displaystyle A'\)-beli közös érintő, illetve rajta van a \(\displaystyle BC\) egyenesen, amely a körülírt kör és az \(\displaystyle A'BC\) kör hatványvonala. Hasonlóan definiálva az \(\displaystyle Y\) és a \(\displaystyle Z\) pontokat, ezek is rajta vannak a beírt kör és a körülírt kör hatványvonalán. Már csak azt kell észrevenni, hogy az \(\displaystyle A'D\) egyenes az \(\displaystyle X\) pont polárisa a beírt körre nézve, a \(\displaystyle B'E\) egyenes az \(\displaystyle Y\) pont polárisa, a \(\displaystyle Z\) pont polárisa pedig a \(\displaystyle C'F\) egyenes, így mindegyiknek át kell mennie az \(\displaystyle XYZ\) egyenes pólusán.

Statisztika:

17 dolgozat érkezett.
7 pontot kapott:	Bodor Mátyás, Chrobák Gergő, Diaconescu Tashi, Foris Dávid, Lovas Márton, Nádor Benedek, Seres-Szabó Márton, Sida Li, Szakács Ábel, Sztranyák Gabriella, Tarján Bernát, Varga Boldizsár, Virág Rudolf.
6 pontot kapott:	Móricz Benjámin, Németh Márton, Simon László Bence, Wiener Anna.

A KöMaL 2023. februári matematika feladatai