 |
Az A. 854. feladat (2023. május) |
A. 854. Igazoljuk, hogy
\(\displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{2^{2^k}\cdot 2^{k+1}}{2^{2^k}+3^{2^k}}<4 \)
teljesül bármely \(\displaystyle n\) pozitív egész szám esetén.
Javasolta: Kovács Béla (Szatmárnémeti)
(7 pont)
A beküldési határidő 2023. június 12-én LEJÁRT.
Vegyük észre, hogy
\(\displaystyle \dfrac{2^{2^k}\cdot 2^{k+1}}{2^{2^k}+3^{2^k}}= \dfrac{2^{k+1}}{(3/2)^{2^k}-1}-\dfrac{2^{k+2}}{(3/2)^{2^{k+1}}-1}, \)
ennek segítségével átírva egy teleszkopikus összeget kapunk:
\(\displaystyle \sum_{k=0}^\infty \dfrac{2^{2^k}\cdot 2^{k+1}}{2^{2^k}+3^{2^k}} =\sum_{k=0}^\infty \Bigg(\dfrac{2^{k+1}}{(3/2)^{2^k}-1}-\dfrac{2^{k+2}}{(3/2)^{2^{k+1}}-1}\Bigg) =4, \)
ami bizonyítja az állítást.
Hogyan lehet erre rájönni?
Először is, arra játszunk, hogy egy teleszkopikus összeget kapjunk, így olyan \(\displaystyle a_0, a_1, \ldots\) és \(\displaystyle b_0, b_1, \ldots\) sorozatokat keresünk, melyekre
\(\displaystyle \dfrac{2^{2^k}\cdot 2^{k+1}}{2^{2^k}+3^{2^k}}=\dfrac{a_k}{b_k}-\dfrac{a_{k+1}}{b_{k+1}}. \)
Átalakítva az eredeti kifejezést,
\(\displaystyle \dfrac{2^{2^k}\cdot 2^{k+1}}{2^{2^k}+3^{2^k}}=\dfrac{2^{k+1}}{(3/2)^{2^k}+1}. \)
Figyeljük meg, hogy
\(\displaystyle \left((3/2)^{2^k}+1\right)\left((3/2)^{2^k}-1\right)=(3/2)^{2^{k+1}}-1, \)
ami sugallja az ötletet, hogy legyen \(\displaystyle b_k=(3/2)^{2^k}-1\). Ezt beírva, azt szeretnénk, hogy
\(\displaystyle \dfrac{2^{k+1}}{(3/2)^{2^k}+1}=\dfrac{a_k}{(3/2)^{2^k}-1}-\dfrac{a_{k+1}}{(3/2)^{2^{k+1}}-1}=\frac{\big((3/2)^{2^k}+1\big)a_k-a_{k+1}}{\left((3/2)^{2^k}+1\right)\left((3/2)^{2^k}-1\right)}, \)
felszorozva a jobb oldal nevezőjével azt kapjuk, hogy a
\(\displaystyle 2^{k+1}\left((3/2)^{2^k}-1\right)=\left((3/2)^{2^k}+1\right)a_k-a_{k+1} \)
egyenlethez keresünk olyan \(\displaystyle (a_k)\) sorozatot, amivel teljesül minden \(\displaystyle k\) esetén. Innen már egyszerűen megtalálható, hogy \(\displaystyle a_k=2^{k+1}\) megfelelő.
Statisztika:
6 dolgozat érkezett. 7 pontot kapott: Bodor Mátyás, Diaconescu Tashi, Fleischman Illés, Szakács Ábel, Varga Boldizsár, Wiener Anna.
A KöMaL 2023. májusi matematika feladatai