Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 3807. feladat (2005. március)

B. 3807. Legalább hány csúcsa van egy olyan gráfnak, amelyben nincs 6-nál rövidebb kör és minden csúcsának a foka 3?

(5 pont)

A beküldési határidő 2005. április 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha egy gráfban nincs kör, akkor van elsőfokú csúcsa, ez tehát nem lehetséges. Jelölje g a legrövidebb kör hosszát. Ebben a C=v_1v_2\ldots v_g körben semelyik átló nem lehet behúzva. Mindegyik vi csúcsnak van tehát egy harmadik szomszédja a körön kívül. Ha ezek közül kettő egybeesne, akkor a gráfban keletkezne g-nél rövidebb kör. A gráfnak tehát legalább 14 csúcsa van, ha g\ge7. Megmutatjuk, hogy g=6 esetén is legalább 14 csúcs van. Valóban, ha a vi csúcs harmadik szomszédját wi jelöli, akkor a w_1,w_2,\ldots,w_6 csúcsok között legfeljebb három él lehet behúzva, nevezetesen w1w4, w2w5 és w3w6. Mivel ezek is harmadfokú csúcsok, mindegyikből kell még vezessen él egy eddig még nem tekintett csúcsba. Ez legalább 6 él, amihez legalább két új végpontnak kell csatlakozni, vagyis a gráfnak valóban legalább 14 csúcsa van ebben az esetben is.

Ez a gondolatmenet elvezet minket ahhoz is, hogy egy pontosan 14 csúccsal rendelkező megfelelő gráfot találjunk, sőt azt is mutatja, hogy az ábrán látható gráfon kívül más 14 csúcsú gráf nem is jöhet szóba. (Ez a gráf tehát rengeteg szimmetriával rendelkezik, hiszen bármelyik 6 hosszúságú köréből kiindulhattunk volna.)

Könnyű ellenőrizni, hogy ez a gráf nem tartalmaz 6-nál rövidebb kört, ennek részletes indoklását már az olvasóra bízzuk.

Statisztika:

82 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:51 versenyző.
4 pontot kapott:7 versenyző.
3 pontot kapott:6 versenyző.
2 pontot kapott:2 versenyző.
1 pontot kapott:2 versenyző.
0 pontot kapott:14 versenyző.

A KöMaL 2005. márciusi matematika feladatai