Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 3808. feladat (2005. március)

B. 3808. A [0;12] intervallumban levő x, y valós számokra:

xy=(12-x)2 (12-y)2.

Mekkora az xy szorzat legnagyobb értéke?

(5 pont)

A beküldési határidő 2005. április 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha x=y=9, akkor a feltétel teljesül, a szorzat értéke pedig 81. Megmutatjuk, hogy minden más esetben a szorzat értéke ennél kisebb. Legyen (12-x)(12-y)=A. Tudjuk, hogy x, y, 12-x, 12-y és A is nemnegatív számok, továbbá A2=xy. A számtani és mértani közepek között fennálló egyenlőtlenség értelmében

{1\over 3}x\cdot{1\over 3}x\cdot{1\over 3}x\cdot(12-x)\le \Bigl({12\over 4}\Bigr)^4=3^4,

és egyenlőség csak x=9 esetén áll fenn. Hasonló eredményre jutunk akkor is, ha x helyébe y-t írunk. Ezek alapján

{A^7\over 3^6}={(xy)^3\over 3^6}(12-x)(12-y) =\Bigl({x\over 3}\Bigr)^3(x-12)\Bigl({y\over 3}\Bigr)^3(y-12) \le 3^4\cdot 3^4=3^8,

vagyis A7\le314, A\le9, xy=A2\le81, egyenlőség pedig csak az x=y=9 esetben állhat fenn.

Statisztika:

78 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:51 versenyző.
4 pontot kapott:5 versenyző.
3 pontot kapott:4 versenyző.
2 pontot kapott:4 versenyző.
1 pontot kapott:5 versenyző.
0 pontot kapott:9 versenyző.

A KöMaL 2005. márciusi matematika feladatai