A B. 3812. feladat (2005. április)

B. 3812. Adjuk meg az összes olyan pozitív egész n számot, amelyre

a) 7³⁹⁹|n!, de $7^{400}\nmid n!$ , illetve

b) 7⁴⁰⁰|n!, de $7^{401}\nmid n!$ .

(4 pont)

A beküldési határidő 2005. május 17-én LEJÁRT.

Megoldás. Az n! szám prímtényezős felbontásában a 7 kitevője

$\alpha=\Bigl[{n\over 7}\Bigr]+\Bigl[{n\over 7^2}\Bigr]+ \Bigl[{n\over 7^3}\Bigr]+\ldots\approx n\Bigl({1\over 7}+{1\over 7^2}+ {1\over 7^3}+\ldots\Bigr)={n\over 6}.$

Világos, hogy ha n értékét növeljük, akkor $\alpha$ értéke nem csökken. Nézzük meg tehát, mennyi $\alpha$ értéke, ha n=6^.400=2400=7⁴-1:

$\alpha$ =(7³-1)+(7²-1)+(7-1)=396.

Ha azonban n=2401=7⁴, akkor

$\alpha$ =7³+7²+7+1=400.

Ezek szerint, ha n! osztható 7³⁹⁹-nel, akkor már 7⁴⁰⁰-nal is osztható lesz. Nincsen tehát olyan n érték, amelyre az a) feltétel teljesülne. A b) feltétel teljesül, ha n=2401+r, ahol 0 $\le$ r $\le$ 6 egész szám, hiszen ekkor [n/7ⁱ]=[2401/7ⁱ] teljesül minden i pozitív egész számra. Ha azonban n=2408, akkor $\alpha$ értékére már 401-et kapunk. A b) feltételt kielégítő n számok tehát 2401, 2402, 2403, 2404, 2405, 2406 és 2407.

Statisztika:

147 dolgozat érkezett.

4 pontot kapott: Almási 270 Gábor, Berinkei Péter, Bitai Tamás, Cseh Ágnes, Csóka Győző, Dombi Péter, Doszkocs Tamás, Dömötör Erika, Eisenberger András, Estélyi István, Gombkötő Tamás, Gyenizse Gergő, Györgyi Péter, Hartmann Zoltán, Horváth 017 Zoltán, Horváth 151 Gábor, Hujter Bálint, Károlyi Gergely, Károlyi Márton, Ketskeméty Kristóf, Kiss 243 Réka, Knipl Diána, Kómár Péter, Kónya 495 Gábor, Kovács 129 Péter, Kunovszki Péter, Kutas Péter, Mészáros Gábor, Nándori Balázs, Németh 007 Zsolt, Pap Máté, Pásztor 001 Attila, Peregi Tamás, Pesti Veronika, Petrás András, Poronyi Balázs, Sümegi Károly, Szalkai Balázs, Szalóki Dávid, Szilágyi 987 Csaba, Szilágyi Dániel, Szirmai Péter, Tóth 666 László Márton, Tóth 796 Balázs, Udvari Balázs, Ureczky Bálint, Vad Szilvia, Varga 868 András.

3 pontot kapott: 66 versenyző.

2 pontot kapott: 14 versenyző.

1 pontot kapott: 9 versenyző.

0 pontot kapott: 10 versenyző.

A KöMaL 2005. áprilisi matematika feladatai

147 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Almási 270 Gábor, Berinkei Péter, Bitai Tamás, Cseh Ágnes, Csóka Győző, Dombi Péter, Doszkocs Tamás, Dömötör Erika, Eisenberger András, Estélyi István, Gombkötő Tamás, Gyenizse Gergő, Györgyi Péter, Hartmann Zoltán, Horváth 017 Zoltán, Horváth 151 Gábor, Hujter Bálint, Károlyi Gergely, Károlyi Márton, Ketskeméty Kristóf, Kiss 243 Réka, Knipl Diána, Kómár Péter, Kónya 495 Gábor, Kovács 129 Péter, Kunovszki Péter, Kutas Péter, Mészáros Gábor, Nándori Balázs, Németh 007 Zsolt, Pap Máté, Pásztor 001 Attila, Peregi Tamás, Pesti Veronika, Petrás András, Poronyi Balázs, Sümegi Károly, Szalkai Balázs, Szalóki Dávid, Szilágyi 987 Csaba, Szilágyi Dániel, Szirmai Péter, Tóth 666 László Márton, Tóth 796 Balázs, Udvari Balázs, Ureczky Bálint, Vad Szilvia, Varga 868 András.
3 pontot kapott:	66 versenyző.
2 pontot kapott:	14 versenyző.
1 pontot kapott:	9 versenyző.
0 pontot kapott:	10 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?