 |
A B. 3813. feladat (2005. április) |
B. 3813. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges ABC háromszög belsejében pontosan egy olyan M pont van, amelyre
MA+BC=MB+AC=MC+AB.
(4 pont)
A beküldési határidő 2005. május 17-én LEJÁRT.
Megoldás. Tekintsük azon M pontok mértani helyét a síkon, amelyekre fennáll az MA+BC=MB+AC, vagyis az MA-MB=CA-CB egyenlőség. Ezek egy olyan hC hiperbolaágon helyezkednek el, melynek két fókuszpontja A és B, és áthalad a C csúcson. Ha a hC görbének az AB szakasszal alkotott metszéspontját C' jelöli, akkor hC-nek a C pontot C'-vel összekötő íve a háromszög belsejében halad, ellenkező esetben metszenie kellene vagy a CA vagy a CB oldalt. Ha azonban a CB oldal egy M belső pontjára az MA+BC=MB+AC feltétel teljesül, akkor MA+CM=CA, ami ellentmond a háromszög-egyenlőtlenségnek, és ugyanígy M nem lehet a CA oldal belső pontja sem.
Hasonlóképpen, az MB+AC=MC+AB feltételnek eleget tevő pontok egy hA hiperbolaág pontjai, melynek az A csúcsot a BC oldal megfelelő A' pontjával összekötő íve a háromszög belsejében halad. Mivel hA és hC folytonos vonalak, kell hogy messék egymást a háromszög belsejében, és egy ilyen metszéspont mefelelő lesz.
Legyen M a háromszög belsejének egy megfelelő pontja, M' pedig egy másik pont, amely rendelkezik a megkövetelt tulajdonsággal. Ekkor M'A-MA=M'B-MB=M'C-MC, vagyis az A,B,C pontok egy olyan hiperbolaágon helyezkednek el, amelynek két fókuszpontja M és M'. (Azt az elfajuló esetet, amikor a mértani hely az MM' szakasz felező merőlegese, kizárhatjuk, hiszen A,B,C nem eshetnek egy egyenesre.) Vagyis A,B,C az MM' szakasz felező merőlegesének ugyanarra az oldalára esnek, ami miatt M és M' közül csak az egyik pont eshet az ABC háromszög belsejébe, tehát M' a háromszögön kívül helyezkedik el.
Statisztika:
47 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Dudás László, Estélyi István, Gehér György, Károlyi Márton, Kiss-Tóth Christian, Nagy 235 János, Páldy Sándor, Sommer Dániel, Strenner Balázs. 3 pontot kapott: Bitai Tamás, Blázsik Zoltán, Eisenberger András, Halász Veronika, Németh 007 Zsolt, Sümegi Károly, Szilvási Tibor, Tóth 666 László Márton, Tóthmérész Lilla. 2 pontot kapott: 22 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2005. áprilisi matematika feladatai