A B. 3817. feladat (2005. április)

B. 3817. Az a_n sorozatot a következőképpen értelmezzük:

a₁ $\ne$ 2, $a_2=\frac{a_1}{a_1-2}$ , $a_{n+1}=\frac{na_n^2}{na_n^2-(n+1)a_n+(n+1)}$ , ha n $\ge$ 2.

Bizonyítsuk be, hogy minden n-re teljesül az

a₁+2a₂+3a₃+...+ na_n=a₁^.a₂^.a₃^....^.a_n

egyenlőség.

Javasolta: Kovács Béla, Szatmárnémeti

(5 pont)

A beküldési határidő 2005. május 17-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel az nx²-(n+1)x+(n+1) polinom diszkriminánsa, D=(n+1)²-4n(n+1)=(n+1)(1-3n)<0, n $\ge$ 2 esetén a_n+1 nevezőjében mindig pozitív szám áll, vagyis a sorozat minden tagja értelmezhető. Az is világos, hogy a₂ $\ne$ 1, ahonnan teljes indukcióval adódik, hogy a_n $\ne$ 1, ha n $\ge$ 2. A feladatban szereplő állítás bizonyítására térve világos hogy n=1 esetén az teljesül, ha pedig n=2, akkor könnyen ellenőrizhető:

$a_1+2a_2=a_1+2{a_1\over a_1-2}={(a_1^2-2a_1)+2a_1\over a_1-2}= {a_1^2\over a_1-2}=a_1a_2.$

A teljes indukciós bizonyításhoz tehát annyit kell csak igazolni, hogy n $\ge$ 2 esetén

$(n+1)a_{n+1}=a_1a_2\ldots a_n(a_{n+1}-1).$

Ezt általánosabban, n $\ge$ 1 esetén igazoljuk teljes indukcióval. Ha n=1, akkor

$a_1(a_2-1)=a_1{2\over a_1-2}=2{a_1\over a_1-2}=2a_2.$

Ha pedig n $\ge$ 2, és az $na_n=a_1a_2\ldots a_{n-1}(a_n-1)$ összefüggést már igazoltuk, akkor

${(n+1)a_{n+1}\over a_{n+1}-1}={(n+1)na_n^2\over na_n^2-(n+1)a_n+(n+1)}: {(n+1)a_n-(n+1)\over na_n^2-(n+1)a_n+(n+1)}=$

$= {(n+1)na_n^2\over(n+1)a_n-(n+1)}={na_n\over a_n-1}a_n= (a_1a_2\ldots a_{n-1})a_n.$

Statisztika:

53 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Dobos Gábor, Dudás László, Eisenberger András, Estélyi István, Fegyveres György, Gehér György, Gombkötő Tamás, Gyenizse Gergő, Hujter Bálint, Kisfaludi-Bak Sándor, Kiss-Tóth Christian, Komáromy Dani, Kónya 495 Gábor, Kutas Péter, Lorántfy Bettina, Lovász László Miklós, Mátyás Péter, Mészáros Gábor, Nagy 224 Csaba, Nagy 235 János, Nagy 317 Péter, Németh 007 Zsolt, Páldy Sándor, Sóvágó Sándor, Szabó 108 Tamás, Szalkai Balázs, Szalóki Dávid, Szegvári Gábor, Tossenberger Anna, Ureczky Bálint.

4 pontot kapott: Blázsik Zoltán, Bodzsár Erik, Bogár 560 Péter, Csaba Ákos, Csató László, Cseh Ágnes, Csorba János, Dányi Zsolt, Fegyverneki Dániel, Horváth 017 Zoltán, Kardos Kinga Gabriela, Kovács 111 Péter, Pálovics Róbert, Poronyi Balázs, Strenner Balázs, Szirmai Péter, Tomon István, Tóth 666 László Márton, Udvari Balázs.

3 pontot kapott: 3 versenyző.

1 pontot kapott: 1 versenyző.

A KöMaL 2005. áprilisi matematika feladatai

53 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Dobos Gábor, Dudás László, Eisenberger András, Estélyi István, Fegyveres György, Gehér György, Gombkötő Tamás, Gyenizse Gergő, Hujter Bálint, Kisfaludi-Bak Sándor, Kiss-Tóth Christian, Komáromy Dani, Kónya 495 Gábor, Kutas Péter, Lorántfy Bettina, Lovász László Miklós, Mátyás Péter, Mészáros Gábor, Nagy 224 Csaba, Nagy 235 János, Nagy 317 Péter, Németh 007 Zsolt, Páldy Sándor, Sóvágó Sándor, Szabó 108 Tamás, Szalkai Balázs, Szalóki Dávid, Szegvári Gábor, Tossenberger Anna, Ureczky Bálint.
4 pontot kapott:	Blázsik Zoltán, Bodzsár Erik, Bogár 560 Péter, Csaba Ákos, Csató László, Cseh Ágnes, Csorba János, Dányi Zsolt, Fegyverneki Dániel, Horváth 017 Zoltán, Kardos Kinga Gabriela, Kovács 111 Péter, Pálovics Róbert, Poronyi Balázs, Strenner Balázs, Szirmai Péter, Tomon István, Tóth 666 László Márton, Udvari Balázs.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?