Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 3820. feladat (2005. április)

B. 3820. Oldjuk meg a következő egyenletet:

(5^x-2^x-2)²+ 2lg (5^x+2^x-2)=x.

(4 pont)

A beküldési határidő 2005. május 17-én LEJÁRT.

Megoldás. A számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség értelmében

$5^x+2^{x-2}\ge 2\sqrt{5^x\cdot2^{x-2}}=10\sqrt{10^{x-2}}=10^{x/2}.$

A logaritmus-függvény monotonitása miatt tehát

$2\lg\left(5^x+2^{x-2}\right)\ge 2(x/2)=x,$

és egyenlőség pontosan az 5^x=2^x-2 esetben áll fenn. Továbbá $\left(5^x-2^{x-2}\right)^2\ge 0$ , és itt ugyanakkor áll fenn az egyenlőség. A két egyenlőtlenséget összeadva kapjuk, hogy

$\left(5^x-2^{x-2}\right)^2+2\lg\left(5^x+2^{x-2}\right)\ge x,$

és egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha 5^x=2^x-2, vagyis az xlog₂5=x-2 esetben. Az egyenlet megoldása tehát

$x=-{2\over \log_2 5-1}.$

Statisztika:

61 dolgozat érkezett.

4 pontot kapott: 53 versenyző.

3 pontot kapott: 1 versenyző.

2 pontot kapott: 2 versenyző.

1 pontot kapott: 3 versenyző.

0 pontot kapott: 2 versenyző.

A KöMaL 2005. áprilisi matematika feladatai

61 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	53 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.