A B. 3822. feladat (2005. május)

B. 3822. Az (a;b;c) számhármassal egy lépésben a következőt lehet tenni: tetszőlegesen felcserélhetjük a számokat, vagy lecserélhetjük az (a;b;2a+2b-c) számhármasra. El lehet-e jutni ilyen lépésekkel a (2;5;13) számhármasból az (1;3;8) számhármasba?

(4 pont)

A beküldési határidő 2005. június 15-én LEJÁRT.

Megoldás. A (2;5;13) számhármasban egy páros szám van, amely 4-gyel osztva 2 maradékot ad, valamint két páratlan szám, melyek összege 4-gyel osztva szintén 2 maradékot ad. Könnyű ellenőrizni, hogy a három számnak ez a tulajdonsága egy lépés során nem változik meg. Az egyetlen nem triviális eset az, ha az (a;b;c) hármasból az (a;b;2a+2b-c) számhármast hozzuk létre. Ha a és b páratlan, akkor 2a+2b-c nyilván páros, és 4-gyel osztva 2 maradékot ad, hiszen 2a+2b osztható 4-gyel. Ha b páros, akkor 2a+2b-c páratlan, és

Hasonlóképpen érvelhetünk akkor is, ha a páros. Mivel az (1;3;8) számhármas nem rendelkezik ezekkel a tulajdonságokkal, nem is kaphatjuk meg, akárhány lépést is hajtunk végre.

Statisztika:

107 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	92 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.

A KöMaL 2005. májusi matematika feladatai